Question

【題目】（1）問題情境：如圖1，已知等腰直角中，，，是上的一點，且，過作于，取中點，連接，則的長為_______（請直接寫出答案）

小明采用如下的做法：

延長到，使，連接，

為中點，為的中點，

是的中位線……

請你根據小明的思路完成上面填空；

（2）遷移應用：將圖1中的繞點作順時針旋轉，當時，試探究、、的數量關系，并證明你的結論．

（3）拓展延伸：在旋轉的過程中，當、、三點共線時，直接寫出線段的長．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）或

【解析】

（1）延長到，使，連接，過作于，在中，利用勾股定理求得EH的長，再利用三角形中位線定理即可求解；

（2）分在上方和下方兩種情況討論，延長與的延長線交于一點，利用等腰直角三角形的性質結合三角形中位線定理即可求解；

（3）分點D在線段AC上和在AC延長線上兩種情況討論，仿照（1）的方法即可求解．

（1）延長到，使，連接，

∵B為中點，為的中點，

∴是的中位線，

∴，

過作于，

∵，，

∴四邊形BDEG是矩形，

∵等腰直角三角形，，

∴∠C=∠A=45，

∵，

∴等腰直角三角形，

∵，

∴，

∴，

∵在中，

，

∴；

（2）當時，分成兩種情況：

如圖在上方，延長與的延長線交于一點，

∵∠BAC=45，

∴是等腰直角三角形，且B為AH的中點，

∴，

∴，

∵點F是AE中點，

∴，

∴；

如圖，在下方，延長與的延長線交于一點，

同理是等腰直角三角形，為中點，

∴，

∴，

∵點F是AE中點，

∴，

∴；

（3）當點D在線段AC上時，

延長到，使，連接，

∵B為中點，為的中點，

∴是的中位線，

過作于，

∠ACB+∠DCE=90，∠ABC =90，

∴四邊形BCEG是矩形，

∴GE=BC=6，BG=CE=2，

∴GH=2+6=8，

∴EH=，

∴；

當點D在AC延長線上時，

延長到，使，連接，

∵B為中點，為的中點，

∴是的中位線，

過作于，

同理四邊形BCEG是矩形，

∴GE=BC=6，BG=CE=2，

∴GH=6-2=4，

∴EH=，

∴；