Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC=8，AC=6，另有一直角梯形DEFH（HF∥DE，∠HDE=90°）的底邊DE落在CB上，腰DH落在CA上，且DE=4，∠DEF=∠CBA，AH：AC=2：3

（1）延長HF交AB于G，求△AHG的面積．
（2）操作：固定△ABC，將直角梯形DEFH以每秒1個單位的速度沿CB方向向右移動，直到點D與點B重合時停止，設運動的時間為t秒，運動后的直角梯形為DEFH′（如圖）．
探究1：在運動中，四邊形CDH?H能否為正方形？若能，請求出此時t的值；若不能，請說明理由．
探究2：在運動過程中，△ABC與直角梯形DEFH?重疊部分的面積為y，求y與t的函數關系．

Answer 1

解：（1）∵AH：AC=2：3，AC=6 ∴AH=AC=×6=4 又∵HF∥DE， ∴HG∥CB，∴△AHG∽△ACB ∴=，即=， ∴HG=∴S△AHG=AH*HG=×4×=． （2）①能為正方形 ∵HH′∥CD，HC∥H′D， ∴四邊形CDH′H為平行四邊形 又∠C=90°， ∴四邊形CDH?H為矩形 又CH=AC﹣AH=6﹣4=2 ∴當CD=CH=2時， 四邊形CDH′H為正方形 此時可得t=2秒時，四邊形CDH?H為正方形． ②（Ⅰ）∵∠DEF=∠ABC， ∴EF∥AB ∴當t=4秒時，直角梯形的腰EF與BA重合． 當0≦t≦4時，重疊部分的面積為直角梯形DEFH′的面積． 過F作FM⊥DE于M，=tan∠DEF=tan∠ABC=== ∴ME=FM=×2=，HF=DM=DE﹣ME=4﹣= ∴直角梯形DEFH′的面積為（4+）×2= ∴y=． （Ⅱ）∵當4＜t≦5時，重疊部分的面積為四邊形CBGH的面積一矩形CDH?H的面積． 而S四邊形CBGH=S△ABC﹣S△AHG=×8×6﹣= S矩形CDH′H=2t ∴y=﹣2t． （Ⅲ）當5＜t≦8時，如圖，設H′D交AB于P，BD=8﹣t 又=tan∠ABC= ∴PD=DB=（8﹣t） ∴重疊部分的面積y=S △PDB=PD×DB=（8﹣t）（8﹣t）=（8﹣t）2=t2﹣6t+24． ∴重疊部分面積y與t的函數關系式： y=．