Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線l平行x軸，交y軸于點A，第一象限內的點B在l上，連結OB，動點P滿足∠APQ=90°，PQ交x軸于點C．

（1）當動點P與點B重合時，若點B的坐標是（2，1），求PA的長．

（2）當動點P在線段OB的延長線上時，若點A的縱坐標與點B的橫坐標相等，求PA：PC的值．

（3）當動點P在直線OB上時，點D是直線OB與直線CA的交點，點E是直線CP與y軸的交點，若∠ACE=∠AEC，PD=2OD，求PA：PC的值．

Answer 1

【答案】（1）PA的長為2；（2）PA：PC的值為1：1；（3）PA：PC的值為或．

【解析】試題分析：(1)B點到y軸的距離是2.（2）過點P作PM⊥x軸，垂足為M，過點P作PN⊥y軸，垂足為N，證明△ANP≌△CMP，可得PA：PC的值為1：1.(3)分類討論，

若點P在線段OB的延長線上，過點P作PM⊥x軸，垂足為M，過點P作PN⊥y軸，垂足為N，PM與直線AC的交點為F，△ANP∽△CMP，證明四邊形PMON是矩形，求出PA：PC值，若點P在線段OB的反向延長線上，，過點P作PM⊥x軸，垂足為M，過點P作PN⊥y軸，垂足為N，PM與直線AC的交點為F，同理求出比值.

試題解析：

（1）∵點P與點B重合，點B的坐標是（2，1），

∴點P的坐標是（2，1）．

∴PA的長為2．

（2）如答圖1，過點P作PM⊥x軸，垂足為M，過點P作PN⊥y軸，垂足為N，

∵點A的縱坐標與點B的橫坐標相等，∴OA=AB．

∵∠OAB=90°，∴∠AOB=∠ABO=45°．

∵∠AOC=90°，∴∠POC=45°．

∵PM⊥x軸，PN⊥y軸，∴PM=PN，∠ANP=∠CMP=90°．∴∠NPM=90°．

∵∠APC=90°．∴∠APN=90°∠APM=∠CPM．

在△ANP和△CMP中，∵∠APN=∠CPM，PN=PM，∠ANP=∠CMP，

∴△ANP≌△CMP．∴PA=PC．∴PA：PC的值為1：1．

（3）①若點P在線段OB的延長線上，如答圖2，過點P作PM⊥x軸，垂足為M，過點P作PN⊥y軸，垂足為N，PM與直線AC的交點為F．

∵∠APN=∠CPM，∠ANP=∠CMP，∴△ANP∽△CMP．∴ .

∵∠ACE=∠AEC，∴AC=AE．

∵AP⊥PC，∴EP=CP．

∵PM∥y軸，∴AF=CF，OM=CM．∴FM= OA．

設OA=x，∵PF∥OA，∴△PDF∽△ODA．∴ .

∵PD=2OD，∴PF=2OA=2x，FM= x．∴PM= x．

∵∠APC=90°，AF=CF，∴AC=2PF=4x．

∵∠AOC=90°，∴OC= x．

∵∠PNO=∠NOM=∠OMP=90°，∴四邊形PMON是矩形．∴PN=OM= x．

∴PA：PC=PN：PM= x： x= ．

②若點P在線段OB的反向延長線上，如答圖3，過點P作PM⊥x軸，垂足為M，過點P作PN⊥y軸，垂足為N，PM與直線AC的交點為F．

同理可得：PM= x，CA=2PF=4x，OC= x．

∴PN=OM= OC= x．

∴PA：PC=PN：PM= x： x= ．

綜上所述：PA：PC的值為 或 ．