Question

27、如圖1，D是△ABC的BC邊上的中點，過點D的一條直線交AC于F，交BA的延長線于E，AG∥BC交EF于G，我們可以證明EG•DC=ED•AG成立（不要求考生證明）．
（1）如圖2，若將圖1中的過點D的一條直線交AC于F，改為交CA的延長線于F，交BA的延長線于E，改為交BA于E，其它條件不變，則EG•DC=ED•AG還成立嗎？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說出理由；
（2）根據圖2，請你找出EG、FD、ED、FG四條線段之間的關系，并給出證明；
（3）如圖3，若將圖1中的過點D的一條直線交AC于F，改為交CA的反向延長線于F，交BA的延長線于E，改為交BA于E，其它條件不變，則（2）得到的結論是否成立？

Answer 1

分析：（1）由于BD=DC，那么本題要證得實際是三角形EAG和EBD相似，因為AG∥BD由此可得證．
（2）本題要根據兩組相似三角形來求解，根據AG∥DC，得出的相似三角形FGA和FDC，可得出FG：FD=AG：DC，根據△EAG∽△BED可得出GE：ED=AG：BD，由于BD=CD，將相等值進行替換即可得出FG，FD，EG，ED的比例關系．
（3）成立，和（2）的證法完全一樣．

解答：解：（1）成立．
證明：∵AG∥BC，
∴△EAG∽△EBD．
∴EG：ED=AG：BD．
即EG•BD=ED•AG．
∵BD=CD，
∴EG•CD=ED•AG．

（2）FG•ED=FD•EG．
證明：∵AG∥BC，
∴△FGA∽△FDC．
∴FG：FD=AG：DC．
∵BD=DC，
∴FG：FD=AG：BD．
由（1），得EG：ED=AG：BD．
∴FG：FD=EG：ED，即FG•ED=FD•EG．

（3）成立，證明過程同（2）．

點評：本題主要考查了相似三角形的判定和性質，通過相似三角形得出線段成比例是解題的關鍵．