Question

目前，“低碳”已成為保護地球環境的熱門話題，某高科技發展公司投資500萬元，成功研制出一種市場需求量較大的低碳高科技產品，再投入資金1500萬元作為固定投資．已知生產每件產品的成本是40元，在銷售過程中發現：當銷售單價定為100元時，年銷售量為20萬件；銷售單價每增加10元，年銷售量將減少1萬件，設銷售單價為x（元），年銷售量為y（萬件），年獲利為z（萬元）．（年獲利=年銷售額-生產成本-投資），
（1）試寫出z與x之間的函數關系式．
（2）請通過計算說明到第一年年底，當z取最大值時，銷銷售單價x應定為多少？此時公司是盈利了還是虧損了？
（3）若該公司計劃到第二年年底獲利不低于1130萬元，請借助函數的大致圖象說明第二年的銷售單價x（元）應確定在什么范圍？

Answer 1

解：（1）依題意知，當銷售單價定為x元時，年銷售量減少（x-100）萬件，
∴y=20-（x-100）=-x+30，
即y與x之間的函數關系式是y=-x+30．
由題意得：
z=y（x-40）-500-1500
=（30-x）（x-40）-500-1500
=-x²+34x-3200，
即z與x之間的函數關系是z=-x²+34x-3200．

（2）∵z=-x²+34x-3200，
=（x-170）²-310．
∴當x=170時，z取最大值，為-310，
即當銷售單價為170元，年獲利最大，并且第一年年底公司還差310萬元就可收回全部投資．

（3）第二年的銷售單價定為x元時，年獲利為：
z=（30-x）（x-40）-310=-x²+34x-1510．
當z=1130時，即1130=-x²+34x-1510，
整理得x²-340x+26400=0，
解得：x₁=120，x₂=220．
函數z=-x²+34x-1510的圖象大致如圖所示，

由圖象可以看出：當120≤x≤220時，z≥1130．
故第二年的銷售單價應確定在不低于120元且不高于220元的范圍內．
分析：（1）依題意當銷售單價定為x元時，年銷售量減少（x-100），則易求y與x之間的函數關系式，進而由題意易得Z與x之間的函數關系．
（2）把z與x的關系式化簡，得出當x=170時，z取最大值；即可得出公司是盈利了還是虧損；
（3）根據z=（30-x）（x-40）-310=-x²+34x-1510=1130進而得出當120≤x≤220時，z≥1130畫出圖象得出即可．
點評：本題主要考查了二次函數的應用和一元二次方程的解法以及二次函數圖象等知識，根據已知得出z與x之間的函數關系是解題關鍵．