Question

（2009•新昌縣模擬）上課時老師出示了下面的題目：
如圖1，正△ABC中，P為BC上一點，作PE⊥AB，PF⊥AC，BG⊥AC，垂足分別為E，F，G．
求證：PE+PF=BG．
喜歡思考的小明，給出了如下證法：
證明：連接AP，∵S_△ABC=S_△ABP+S_△ACP
又PE⊥AB，PF⊥AC，BG⊥AC
∴

1

2

AC•BG=

1

2

AB•PE+

1

2

AC•PF
∵AB=AC
∴BG=PE+PF
老師非常贊賞，面積法證明本題真簡潔!老師又引導學生繼續探索．
（1）當點P在CB延長線上時，上述結論是否成立？若不成立，探究三條線段之間PE，PF，BG之間的數量關系．寫出猜想，不要求證明．
（2）①將“P為BC上一點”改成”P為正△ABC內一點”，作PE⊥AB，PF⊥AC，PM⊥BC，BG⊥AC，垂足分別為E，F，M，G．有類似結論嗎？請寫出結論并證明．
②若點P在如圖所示的位置時，①的結論是否成立？試探究四條線段PE，PF，PM，BG的數量關系．

Answer 1

分析：（1）連接PA，根據△PAB的面積等于△ABC的面積加上△PAC的面積，根據三角形的面積公式代入得出

1

2

AB×PE=

1

2

AC×BG+

1

2

AC×PF，即可推出答案；
（2）①連接PA、PB、PC，根據S_△ABC=S_△APB+S_△ACP-S_△PBC和三角形的面積公式得出

1

2

AC×BG=

1

2

AB×PE+

1

2

AC×PF-

1

2

BC×PM，即可推出答案；②連接PA、PB、PC，與①類似根據三角形的面積公式能推出BG+PM=PE+PF，即可求出答案．

解答：（1）
BG=PE-PF，
理由是：連接PA，
∵S_△PAB=S_△ABC+S_△PAC，
∴

1

2

AB×PE=

1

2

AC×BG+

1

2

AC×PF，
∵AB=AC，
∴PE=BG+PF，
即BG=PE-PF．
（2）
①解：如圖3，PM+PE+PF=BG，
理由是：連接PA、PB、PC，
∵S_△ABC=S_△APB+S_△ACP+S_△PBC，
∴

1

2

AC×BG=

1

2

AB×PE+

1

2

AC×PF+

1

2

BC×PM，
∵AC=AB=BC，
∴PE+PF+PM=BG．

②解：BG=PE+PF-PM，
理由是：連接PA、PB、PC，
∵S_△ABC+S_△PBC=S_△PAB+S_△PAC，
∴

1

2

AC×BG+

1

2

BC×PM=

1

2

AB×PE+

1

2

AC×PF，
∵AC=AB=BC，
∴BG+PM=PE+PF，
即BG=PE+PF-PM．

點評：本題綜合考查了等邊三角形的性質，全等三角形的性質和判定，三角形的面積，垂線等知識點的應用，關鍵是依據已知證明問題的思路進行推理和證明，主要培養學生觀察問題的能力，用的數學思想是類比推理的思想．