Question

【題目】在平行四邊形中，，，是上的一個動點，由向運動（與、不重合），速度為每秒，是延長線上一點，與點以相同的速度由向延長線方向運動（不與重合），連結交AB于．

（1）如圖1，若，，求點P運動幾秒后，.

（2）在（1）的條件下，作于F，在運動過程中，線段長度是否發生變化，如果不變，求出的長；如果變化，請說明理由.

（3）如圖3，當時，平行四邊形的面積是，那么在運動中是否存在某一時刻，點P，Q關于點E成中心對稱，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）2秒；（2）EF的長度不會發生變化，且其長度為3；（3）存在，a=5.

【解析】

（1）設cm，則cm，先據題意推得△ABC是等邊三角形，得，進一步可得，再利用30°角的直角三角形的性質得出關于x的方程，解方程即得結果；

（2）如圖2，過點P作PH∥BC交AB于點H，易知△APH是等邊三角形，先利用AAS證得△PEH≌△QEB，從而HE=BE，再在△APH中根據等邊三角形的性質得出AF=FH，于是可得EF與AB的數量關系，問題即得解決；

（3）假設存在某一時刻，使P，Q關于點E中心對稱，即PE=QE，作PG∥BC交AB于點G，如圖3，先利用AAS證明△PEG≌△QEB，從而得PG=AP，進一步可利用推出AC=BC，再作CM⊥AB于點M，則由等腰三角形的性質可求得BM的長，然后根據平行四邊形的面積求出CM的長，再根據勾股定理即可求出a的值.

解：（1）設cm，則cm，如圖1，

∵，，∴△ABC是等邊三角形，∴.

∵，∴，

∴，即，解得，即．

∴點P運動2秒后，.

（2）如圖2，過點P作PH∥BC交AB于點H，則∠HPE=∠BQE，

∵△ABC是等邊三角形，∴△APH是等邊三角形，∴AP=PH，

∵AP=BQ，∴PH=BQ，又∵∠PEH=∠QEB，∴△PEH≌△QEB（AAS），∴HE=BE.

∵△APH是等邊三角形，PF⊥AH，∴AF=FH，

∴EF=EH+FH=，

∴EF的長度不會發生變化，且其長度為3.

（3）假設存在某一時刻，使P，Q關于點E中心對稱，即PE=QE，

作PG∥BC交AB于點G，如圖3，則∠PGE=∠EBQ，

又∵∠PEG=∠BEQ，PE=QE，

∴△PEG≌△QEB（AAS），

∴PG=QB，∴PG=AP.

∵△APG∽△ACB，∴，∴AC=BC.

作CM⊥AB于點M，則BM=AM=3cm，

∵，，∴CM=4cm，

在Rt△BCM中，根據勾股定理，得；

∴BC=5cm，即a=5.