Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0），B（5，0），與y軸交于點C（0，），頂點為D，對稱軸交x軸于點E．

（1）求該拋物線的一般式；

（2）若點Q為該拋物線上第一象限內一動點，且點Q在對稱軸DE的右側，求四邊形DEBQ面積的最大值及此時點Q的坐標；

（3）若點P為對稱軸DE上異于D，E的動點，過點D作直線PB的垂線交直線PB于點F，交x軸于點G，當△PDG為等腰三角形時，請直接寫出點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣；（2），Q（，）；（3）點P的坐標為（2，﹣）或（2，﹣2）或（2，﹣﹣2）或（2，﹣）

【解析】

（1）將A，B，C三點的坐標直接代入解析式即可求出a、b，c的值；

（2）過點Q作y軸的平行線交BD于點M，設點Q（m，），求出直線BD的解析式為y＝，可設M（m，），則QM＝，根據S四邊形DEBQ＝S△DEB+S△DQM+S△BQM可得出m的表達式，由二次函數的性質可求出答案．

（3）設點P（2，n），可得出點G（2﹣，0），分當GP＝GD、GP＝PD、GD＝PD三種情況，得出n的方程分別求解即可．

解：（1）把A（﹣1，0），B（5，0），C（0，），代入拋物線解析式得：

，解得：，

∴拋物線解析式為：y＝﹣；

（2）∵拋物線解析式為y＝﹣＝﹣，

∴拋物線的頂點D的坐標為（2，），對稱軸為x＝2，E（2，0），

過點Q作y軸的平行線交BD于點M，設點Q（m，），

設直線BD的解析式為y＝kx+b，

則，

解得：，

∴直線BD的解析式為y＝，

可設M（m，），

∴QM＝﹣（）＝，

∴S四邊形DEBQ＝S△DEB+S△DQM+S△BQM

＝+×（m﹣2）+，

＝．

當m＝時，S四邊形DEBQ取得最大值，S四邊形DEBQ＝．

此時．

∴Q（，）．

（3）拋物線的對稱軸為x＝2，則點D（2，），

設點P（2，n），

將點P、B的坐標代入一次函數表達式：y＝sx+t并解得：

函數PB的表達式為：y＝，

∵DG⊥PB，

故直線DG表達式中的k值為，

將點D的坐標代入一次函數表達式，

同理可得直線DG的表達式為：y＝，

解得：x＝2﹣，

故點G（2﹣，0），

∴GP2＝，，，

①當GP＝GD時，，

解得：n＝﹣或（舍去），

∴P（2，﹣）．

②當GP＝PD時，，

解得：n＝﹣2±，

∴P（2，﹣2+）或P（2，﹣2﹣）．

③當GD＝PD時，，

解得：n＝﹣或n＝0（舍去）．

∴P（2，）．

綜合上述，點P的坐標為（2，﹣）或（2，﹣2）或（2，﹣﹣2）或（2，﹣）．