Question

如圖，在平面直角坐標系中，?OABC的頂點A在y軸的正半軸上，頂點B在x軸的正半軸上，對角線AC、OB交于點D，且OA、OB的長是方程x²-12x+32=0的兩根（OA＜OB）．
（1）求直線AC的函數解析式；
（2）若點P從A點出發，以每秒1個單位的速度沿射線AC運動，連接OP．設△OPD的面積為S，點P的運動時間為t秒，求S與t的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍；
（3）若點M是直線AC上一點，則在平面上是否存在點N，使以A、B、M、N為頂點四邊形為菱形？若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）求出OA、OB的長度，從而得出點A及點B的坐標，然后根據平行四邊形的性質可得出點C的坐標，繼而利用待定系數法可得出直線AC的解析式；
（2）需要分兩段進行討論，①點P在線段AD上，②點P在射線DC上，然后根據設出點P的坐標，根據三角形的面積公式即可得出S與t的函數關系式；
（3）根據菱形四邊相等的性質，可分兩種情況進行討論，①AB=AM，②BM=AB，③AM=AN，從而可得出點M的坐標，結合菱形的性質可得出點N的坐標．

解答：解：（1）∵OA、OB的長x²-12x+32=0的兩根，OA＜OB，
∴OA=4，OB=8，點A坐標為（0，4），點B坐標為（8，0），
又∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴可得點C的橫坐標等于點B的橫坐標，點C的縱坐標等于點A的縱坐標的相反數，
故點C的坐標為（8，-4），
設直線AC的解析式為：y=kx+b，則

8k+b=-4 b=4

，
解得：

k=-1 b=4

，
故直線AC的解析式為：y=-x+4；

（2）由（1）可得OB=8，根據平行四邊形的性質可得點D坐標為（4，0），
即OA=OD，∠OAD=∠ODA=45°，AD=4

2

，
①當點P在線段AD上時，此時t＜4

2

；

過點P作PE⊥OA，PF⊥OB，則可得AP=t，
在RT△AEP中，EP=

2

2

t，即點P的橫坐標為

2

2

t，
∵點P在直線AC上，
∴點P的縱坐標為：-

2

2

t+4，
此時S_△OPD=

1

2

OD×P_縱坐標=8-

2

t（t＜4

2

）；
②當點P在射線DC上時，此時t＞4

2

PD=AP-AD=t-4

2

，
在RT△PDM中，PM=DPcos∠DPM=DP×

2

2

=

2

2

t-4，
此時S_△OPD=

1

2

OD×P_縱坐標=

2

t-8（t＞4

2

）；

（3）存在符合題意的點N的坐標．

①當AB=AM時，在RT△MAH中，MH=AMcos∠MAH=AMcos∠ADO=2

10

，AH=2

10

，
故點M的坐標為（-2

10

，4+2

10

），
又∵MN平行且相等AB，
設點N坐標為（x，y），則（x+0，y+4）=（-2

10

+8，4+2

10

+0）
∴x=8-2

10

，y=2

10

，
∴點N的坐標為（8-2

10

，2

10

）．
②當BM=AB時，

設點M坐標為（x，-x+4），點N坐標為（a，b），
∵四邊形ABMN是菱形，點A（0，4），點B（8，0），
∴（x+0，-x+4+4）=（a+8，b+0），
∴a=x-8，b=-x+8，即點N坐標為（x-8，-x+8），
又∵BM=AB=4

5

，
∴

(x-8)2+(-x+4-0)2

=4

5

，
解得：x=12或x=0（與點A重合，舍去），
故此時點N的坐標為（4，-4）；
③當AB為對角線時，

設點M坐標為（x，-x+4），則點N坐標為（8-x，x），
∵此時AM=AN，
即可得：

(x-0)2+(-x+4-4)2

=

(8-x-0)2+(x-4)2

，
解得：x=

10

3

，
則此時點N的坐標為（

14

3

，

10

3

）．
綜上可得符合題意的點N的坐標為（8-2

10

，2

10

）或（4，-4）或（

14

3

，

10

3

）；

點評：此題屬于一次函數綜合題，涉及了菱形的性質、兩點間的距離公式及解直角三角形的知識，難點在第三問，關鍵是先確定點M的位置，注意分類討論，不要漏解，難度較大．