Question

如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于H，過CD延長線上一點E作⊙O的切線交AB的延長線于F,切點為G，連接AG交CD于K．

（1）求證：KE=GE；
（2）若AC∥EF，試判斷線段KG、KD、GE間的相等
數量關系，并說明理由；
（3）在（2）的條件下，若sinE=，AK=，求FG的長．

Answer 1

（1）由∠KGE=∠AKH=∠GKE可證KE=GE
（2）由△GKD∽△EGK可證得KG²=KD•GE
（3）FG=

試題分析：解：（1）證明：如答圖1，連接OG．

∵EG為切線，∴∠KGE+∠OGA=90°．………1分
∵CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG=90°．
又OA=OG，∴∠OGA=∠OAG． ……………2分
∴∠KGE=∠AKH=∠GKE．∴KE=GE．………3分
（2）=KD·GE．理由如下：
連接GD，如答圖2所示．

∵AC∥EF，∴∠E=∠C．　　　…………………４分
又∵∠C=∠AGD，∴∠E=∠AGD．
∵∠KGE=∠GKE，∴△GKD∽△EGK．…………5分
∴．∴KG²=KD•GE．…………………6分
（3）連接OG，OC，如答圖3所示．

由（2）∠E=∠ACH，∴sinE=sin∠ACH=．………7分
∴可設AH=3t，則AC=5t，CH=4t．
∵KE=GE，AC∥EF，∴CK=AC=5t．∴HK=CK﹣CH=t．
在Rt△AHK中，根據勾股定理得AH²+HK²=AK²，
即（3t）²+t²=，解得t=．…………………8分
設⊙O半徑為r，在Rt△OCH中，OC=r，OH=r﹣3t，CH=4t，
由勾股定理得：OH²+CH²=OC²，即（﹣3t）²+（4t）²=²．
解得．    ………………………………………………………9分
∵EF為切線，∴△OGF為直角三角形．  
在Rt△OGF中，OG==，tan∠OFG=tan∠CAH=＝，
∴FG=．     ……………………………………10分
點評：此題比較綜合，把幾個知識點綜合起來考察，主要要求學生對學過知識的提取與運用。