Question

如圖所示,已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=∠D=90°,以AB 為直徑的⊙O與CD相切于P,若AD=m,BC=n,CD=a.

    求證:(1)PC、PD是關于x的方程:x²-ax+mn=0的兩根;

(2)a²=4mn.

Answer 1

(1)連結OP.∵CD切⊙O于P,∴OP⊥CD,

∵AD⊥CD,BC⊥CD,∴AD∥OP∥BC.

又∵OA=OB,∴PC=PD,

∵CD=a,∴PC+PD=CD=a,

連結PA、PB,∵AB是⊙O 的直徑,∴∠APB=90°,∴∠APD+∠BPC=90°,

∵∠D=90°,∴∠APD+∠PAD=90°,∴∠PAD=∠BPC,

又∵∠D=∠C=90°,∴△PAD∽△BPC,

∴ ,∴PD·PC=AD·BC.

∵AD=m,BC= n,∴PD·PC=m·n,

故PC、PD是關于x的方程x²-ax+mn=0的兩根.

(2)∵CD=PD+PC,PD=PC,CD=a,∴PC=,∴PC²=,又PC²=PC·PD,PD·PC=m·n,

∴ =mn,∴a²=4mn.

    點撥:此題是學科內綜合題,是一元二次方程,兩三角形相似的識別法,切線的性質及與圓有關的性質的綜合應用,通過本題加深了這些知識的聯系和溝通,提高了應用能力.