Question

如圖，直線與x軸，y軸分別相交于點B，點C，經過B、C兩點的拋物線與x軸的另一交點為A，頂點為P，且對稱軸是直線．
（1）求A點的坐標及該拋物線的函數表達式；
（2）求出∆PBC的面積；
（3）請問在對稱軸右側的拋物線上是否存在點Q，使得以點A、B、C、Q所圍成的四邊形面積是∆PBC的面積的？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）（1，0），．（2）3；（3）或

試題分析：（1）先由直線y=-x+3與x軸，y軸分別相交于點B，點C，求出B（3，0），C（0，3），再根據拋物線y=ax²+bx+c的對稱軸是直線x=2，求出與x軸的另一交點A的坐標為（1，0），然后將A（1，0），B（3，0），C（0，3）代入y=ax²+bx+c，運用待定系數法即可求出該拋物線的函數表達式；
（2）先利用配方法將二次函數寫成頂點式，得到頂點P的坐標，再設拋物線的對稱軸交直線y=-x+3于點M，由PM∥y軸，得出M的坐標，然后根據S_△PBC=•PM•|x_C-x_B|即可求出△PBC的面積；
（3）設Q（m，m²-4m+3），首先求出以點A、B、C、Q所圍成的四邊形面積=S_△PBC=×3=．再分兩種情況進行討論：①當點Q在PB段時，由S_{四邊形ACBQ}=S_△ABC+S_△ABQ=3+|y_Q|，得出|y_Q|=-3=，即-m²+4m-3=，解方程求出m的值，得到Q₁的坐標；②當點Q在BE段時，過Q點作QH⊥x軸，交直線于H，連結BQ．由S_{四邊形ACQB}=S_△ABC+S_△CBQ=3+（m²-3m），得出（m²-3m）=-3=，解方程求出m的值，得到Q₂的坐標．
試題解析：（1）直線與x軸相交于點，
∴當時，，
∴點的坐標為．
又∵拋物線過軸兩點，且對稱軸為，根據拋物線的對稱性，
∴點的坐標為．
∵過點，易知，
∴．
又∵拋物線過點，
∴解得   
∴．
（2）連結PB、PC，

由，得，
設拋物線的對稱軸交直線于點，
又∵PM∥y軸，則,
則
（3）由圖可知，點Q應分為兩種情況，在PB段或在BE段。
      
又
設
當點Q在PB段時，,
∴，可知
∴，即，
解之，得,
又點Q在對稱軸的右側，則，
∴
當點Q在BE段時，過Q作QH⊥x軸，交直線于H，連結BQ，則設
,

又,
∴，解之，得
又點Q在對稱軸的右側，則，
∴
綜上所述，當或時，點A、B、C、Q所圍成的四邊形面積是∆PBC的面積的．