Question

在矩形ABCD中，點P在AD上，AB=2，AP=1，將三角板的直角頂點放在點P處，三角板的兩直角邊分別能與AB、BC邊相交于點E、F，連接EF．
（1）如圖，當點E與點B重合時，點F恰好與點C重合，求此時PC的長；

（2）將三角板從（1）中的位置開始，繞點P順時針旋轉，當點E與點A重合時停止，在這個過程中，請你觀察、探究并解答：

①∠PEF的大小是否發生變化？請說明理由；
②直接寫出從開始到停止，線段EF的中點所經過的路線長．

Answer 1

（1）PC=2；（2）①∠PEF的大小不變．②

試題分析：（1）先根據勾股定理求得PB的長，再利用互余關系證得△APB∽△DCP，最后根據相似三角形的性質及即可求得結果；
（2）①過F作FG⊥AD，垂足為G，同（1）的方法證明△APB∽△DCP，得相似比，再利用銳角三角函數的定義求值；
②如圖3，畫出起始位置和終點位置時，線段EF的中點O₁，O₂，連接O₁O₂，線段O₁O₂即為線段EF的中點經過的路線長，也就是△BPC的中位線．
（1）在矩形ABCD中，，AP=1，CD=AB=2，
∴PB=，．
∵，
∴．
∴．
∴ △ABP∽△DPC．
∴，即．
∴PC=2；
（2）①∠PEF的大小不變．
理由：過點F作FG⊥AD于點G．

∴四邊形ABFG是矩形
∴
∴GF=AB=2，
∵
∴
∴
∴ △APE∽△GFP
∴
∴在Rt△EPF中，tan∠PEF=
即tan∠PEF的值不變
∴∠PEF的大小不變．
②如圖所示：
 
設線段EF的中點為O，連接OP，OB，
∵在Rt△EPF中，OP=EF，
在Rt△EBF中，OB=EF，
∴OP=OB=EF，
∴O點在線段BP的垂直平分線上，
∴線段EF的中點經過的路線長為
點評：解答本題的關鍵是熟記相似三角形的對應邊成比例，注意對應字母寫在對應位置上.