Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC為直徑的⊙O交AB于點D，E、F是⊙O上的兩點，連結AE、CF、DF，滿足EA＝CA.

(1)求證：AE是⊙O的切線；

(2)若⊙O的半徑是3，tan∠CFD＝，求AD的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）連接OA，OE，易證△AOC≌△AOE（SSS），從而可知∠OEA=∠ACB=90°，所以AE是⊙O的切線．

（2）連接CD，因為∠CBA=∠CFD，所以tan∠CBA=tan∠CFD=，從而可求出AC=8，利用勾股定理即可求出AB=10，再證明△ADC∽△ACB，從而可求出AD的長度．

（1）連接OA，OE，

在△AOC與△AOE中，

∴△AOC≌△AOE（SSS）

∴∠OEA=∠ACB=90°，

∴OE⊥AE，

∴AE是⊙O的切線

（2）連接CD

∵∠CBA=∠CFD

∴tan∠CBA=tan∠CFD=，

∵在Rt△ACB中，

tan∠CBA=

∴AC=8

∴由勾股定理可知：AB=10，

∵BC為⊙O的直徑，

∴∠CDB=∠ADC=90°，

∵∠ADC=∠ACB，∠DAC=∠CAB，

∴△ADC∽△ACB

∴，

∴AD=6.4