Question

【題目】如圖，直線y= x+4與x軸、y軸分別交于點A和點B，點C、D分別為線段AB、OB的中點，點P為OA上一動點，PC+PD值最小時點P的坐標為（ ）

A.（﹣3，0）
B.（﹣6，0）
C.（﹣ ，0）
D.（﹣ ，0）

Answer 1

【答案】C
【解析】解：（方法一）作點D關于x軸的對稱點D′，連接CD′交x軸于點P，此時PC+PD值最小，如圖所示．

令y= x+4中x=0，則y=4，

∴點B的坐標為（0，4）；

令y= x+4中y=0，則 x+4=0，解得：x=﹣6，

∴點A的坐標為（﹣6，0）．

∵點C、D分別為線段AB、OB的中點，

∴點C（﹣3，2），點D（0，2）．

∵點D′和點D關于x軸對稱，

∴點D′的坐標為（0，﹣2）．

設直線CD′的解析式為y=kx+b，

∵直線CD′過點C（﹣3，2），D′（0，﹣2），

∴有 ，解得： ，

∴直線CD′的解析式為y=﹣ x﹣2．

令y=﹣ x﹣2中y=0，則0=﹣ x﹣2，解得：x=﹣ ，

∴點P的坐標為（﹣ ，0）．

故選C．

（方法二）連接CD，作點D關于x軸的對稱點D′，連接CD′交x軸于點P，此時PC+PD值最小，如圖所示．

令y= x+4中x=0，則y=4，

∴點B的坐標為（0，4）；

令y= x+4中y=0，則 x+4=0，解得：x=﹣6，

∴點A的坐標為（﹣6，0）．

∵點C、D分別為線段AB、OB的中點，

∴點C（﹣3，2），點D（0，2），CD∥x軸，

∵點D′和點D關于x軸對稱，

∴點D′的坐標為（0，﹣2），點O為線段DD′的中點．

又∵OP∥CD，

∴點P為線段CD′的中點，

∴點P的坐標為（﹣ ，0）．

故選C．

（方法一）根據一次函數解析式求出點A、B的坐標，再由中點坐標公式求出點C、D的坐標，根據對稱的性質找出點D′的坐標，結合點C、D′的坐標求出直線CD′的解析式，令y=0即可求出x的值，從而得出點P的坐標．

（方法二）根據一次函數解析式求出點A、B的坐標，再由中點坐標公式求出點C、D的坐標，根據對稱的性質找出點D′的坐標，根據三角形中位線定理即可得出點P為線段CD′的中點，由此即可得出點P的坐標．