Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝(x—m)²—m²＋m的頂點為A，與y軸的交點為B，連結AB，AC⊥AB，交y軸于點C，延長CA到點D，使AD＝AC，連結BD．作AE∥x軸，DE∥y軸．

（1）當m＝2時，求點B的坐標；

（2）求DE的長?

（3）①設點D的坐標為（x，y），求y關于x的函數關系式？

②過點D作AB的平行線，與第（3）①題確定的函數圖象的另一個交點為P，當m為何值時，以，A，B，D，P為頂點的四邊形是平行四邊形？

Answer 1

（1）當m＝2時，y＝(x—2)²＋1

把x＝0代入y＝(x—2)²＋1，得：y＝2

∴點B的坐標為（0，2）

（2）延長EA，交y軸于點F

∵AD＝AC，∠AFC＝∠AED＝90º，∠CAF＝∠DAE

∴△AFC≌△AED

∴AF＝AE，

∵點A（m，—m²＋m），點B（0，m）

∴AF＝AE＝|m|，BF＝m—(—m²＋m)＝m²

∵∠ABF＝90º—∠BAF＝∠DAE，∠AFB＝∠DEA＝90º，

∴△ABF∽△DAE

∴＝，即：＝

∴DE＝4

（3）①∵點A的坐標為（m，—m²＋m），

∴點D的坐標為（2m，—m²＋m＋4），

∴x＝2m，y＝—m²＋m＋4

∴y＝—•＋＋4

∴所求函數的解析式為：y＝—x²＋x＋4

②作PQ⊥DE于點Q，則△DPQ≌△BAF 

（Ⅰ）當四邊形ABDP為平行四邊形時（如圖1），

點P的橫坐標為3m   

點P的縱坐標為：(—m²＋m＋4)—(m²)＝—m²＋m＋4

把P（3m，—m²＋m＋4）的坐標代入y＝—x²＋x＋4得：

—m²＋m＋4＝—×(3m)²＋×(3m)＋4

解得：m＝0（此時A，B，D，P在同一直線上，舍去）

或m＝8

（Ⅱ）當四邊形ABDP為平行四邊形時（如圖2），

點P的橫坐標為m   

點P的縱坐標為：(—m²＋m＋4)＋(m²)＝m＋4

把P（m，m＋4）的坐標代入y＝—x²＋x＋4得：

m＋4＝—m²＋m＋4

解得：m＝0（此時A，B，D，P在同一直線上，舍去）或m＝—8

綜上所述：m的值8或—8．