Question

（1）填表：

n（凸多邊形的邊數）	3	4	5	…
m（凸多邊形中角度等于135°的內角個數的最大值）	1	2	3	…

（2）猜想給定一個正整數n，凸n邊形最多有m個內角等于135°，則m與n之間有怎樣的關系？
（3）取n=7驗證你的猜想是否成立？如果不成立，請給出凸n邊形中最多有多少個內角等于135°？并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據三角形、四邊形、五邊形的內角和，可求得答案；
（2）根據（1）可猜想凸n邊形中角度等于135°的內角個數的最大值為：n-2；
（3）設凸n邊形最多有m個內角等于135°，則每個135°內角的外角都等于45°，由凸n邊形的n個外角和為360°，可得k≤

360

45

=8，只有當n=8時，m才有最大值8，即可得當3≤n≤5時，凸n邊形最多有n-2個內角等于135°；當6≤n≤7時，凸n邊形最多有n-1個內角等于135°；當n=8時，凸n邊形最多有8個內角等于135°；當n＞8時，凸n邊形最多有7個內角等于135°．

解答：解：（1）∵三角形中只有一個鈍角，
∴三邊形中角度等于135°的內角個數的最大值為1；
∵四邊形的內角和為360°，
∴四邊形中角度等于135°的內角個數的最大值為2；
∵五邊形的內角和為540°，
∴五邊形中角度等于135°的內角個數的最大值為3；
故答案為：1，2，3；

（2）由（1）得：凸n邊形中角度等于135°的內角個數的最大值為：n-2．
即m=n-2；

（3）取n=7時，m=6，驗證猜想不成立；
設凸n邊形最多有m個內角等于135°，則每個135°內角的外角都等于45°，
∵凸n邊形的n個外角和為360°，
∴k≤

360

45

=8，只有當n=8時，m才有最大值8，
討論n≠8時的情況：
（1）當時n＞8，顯然，m的值是7；
（2）當n=3，4，5時，m的值分別為1，2，3；
（3）當n=6，7時，m的值分別為5，6；
綜上所述，當3≤n≤5時，凸n邊形最多有n-2個內角等于135°；當6≤n≤7時，凸n邊形最多有n-1個內角等于135°；當n=8時，凸n邊形最多有8個內角等于135°；當n＞8時，凸n邊形最多有7個內角等于135°．

點評：此題考查了多邊形的內角和與外角和的知識．此題難度較大，注意掌握分類討論思想的應用是解此題的關鍵．