Question

11．如圖，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=30cm，BC=25cm，動點P從點C出發，沿CA方向運動，速度是2cm/s，動點Q從點B出發，沿BC方向運動，速度是1cm/s．
（1）幾秒后P、Q兩點相距25cm？
（2）幾秒后△PCQ與△ABC相似？
（3）設△CPQ的面積為S₁，△ABC的面積為S₂，在運動過程中是否存在某一時刻t，使得S₁：S₂=2：5？若存在，求出t的值；若不存在，則說明理由．

Answer 1

分析 （1）設x秒后P、Q兩點相距25cm，用x表示出CP、CQ，根據勾股定理列出方程，解方程即可；
（2）分△PCQ∽△ACB和△PCQ∽△BCA兩種情況，根據相似三角形的性質列出關系式，解方程即可；
（3）用t分別表示出CP、CQ，根據題意列出方程，解方程即可．

解答 解：（1）設x秒后P、Q兩點相距25cm，
則CP=2xcm，CQ=（25-x）cm，
由題意得，（2x）²+（25-x）²=25²，
解得，x₁=10，x₂=0（舍去），
則10秒后P、Q兩點相距25cm；
（2）設y秒后△PCQ與△ABC相似，
當△PCQ∽△ACB時，$\frac{CP}{CA}$=$\frac{CQ}{CB}$，即$\frac{2y}{30}$=$\frac{25-y}{25}$，
解得，y=$\frac{75}{8}$，
當△PCQ∽△BCA時，$\frac{CP}{CB}$=$\frac{CQ}{CA}$，即$\frac{2y}{25}$=$\frac{25-y}{30}$，
解得，y=$\frac{125}{17}$，
故$\frac{75}{8}$秒或$\frac{125}{17}$秒后△PCQ與△ABC相似；
（3）△CPQ的面積為S₁=$\frac{1}{2}$×CQ×CP=$\frac{1}{2}$×2t×（25-t）=-t²+25t，
△ABC的面積為S₂=$\frac{1}{2}$×AC×BC=375，
由題意得，5（-t²+25t）=375×2，
解得，t₁=10，t₂=15，
故運動10秒或15秒時，S₁：S₂=2：5．

點評 本題考查的是相似三角形的判定和性質以及一元二次方程的應用，掌握相似三角形的判定定理和性質定理、正確解出一元二次方程是解題的關鍵，注意分情況討論思想的應用．