Question

【題目】若t為實數，關于x的方程x2﹣4x+t﹣2=0的兩個非負實數根為a、b，則代數式（a2﹣1）（b2﹣1）的最小值是（ ）
A.﹣15
B.﹣16
C.15
D.16

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵a，b是關于x的一元二次方程x2﹣4x+t﹣2=0的兩個非負實根， ∴可得a+b=4，ab=t﹣2≥0，△=16﹣4（t﹣2）≥0．
解 得：2≤t≤6
（a2﹣1）（b2﹣1）=（ab）2﹣（a2+b2）+1=（ab）2﹣（a+b）2+2ab+1，
∴（a2﹣1）（b2﹣1），
=（t﹣2）2﹣16+2（t﹣2）+1，
=（t﹣1）2﹣16，
∵2≤t≤6，
∴當t=2時，（t﹣1）2取最小值，最小值為1，
∴代數式（a2﹣1）（b2﹣1）的最小值是1﹣16=﹣15，
故選：A．
【考點精析】認真審題，首先需要了解二次函數的性質(增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減�。粚ΨQ軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小)．