Question

（2013•景德鎮二模）如圖①、②、③是兩個半徑都等于2的⊙O₁和⊙O₂，由重合狀態沿水平方向運動到互相外切過程中的三個位置，⊙O₁和⊙O₂相交于A、B兩點，分別連結O₁A、O₁B、O₂A、O₂B和AB．
（1）如圖②，當∠AO₁B=120°時，求兩圓重疊部分圖形的周長l；
（2）設∠AO₁B的度數為x，兩圓重疊部分圖形的周長為y，求y關于x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）在（2）中，當重疊部分圖形的周長y=2π時，則線段O₂A所在的直線與⊙O₁有何位置關系？請說明理由．除此之外，它們是否還有其它的位置關系？如果有，請直接寫出其它位置關系時的x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用對稱性得，∠AO₂B=∠AO₁B=120°，直接利用弧長公式求出即可；
（2）利用弧長公式直接求出y與x之間的關系即可；
（3）根據y=2π，由（2）可知：

π

45

x=2π，即可得出∠O₁AO₂=90°，即O₂A⊥O₁A，即可得出O₂A與⊙O₁相切，當0≤x≤90°和0≤x≤180°時，線段O₂A所在的直線與⊙O₁相交．

解答：解：（1）解法一：依對稱性得，∠AO₂B=∠AO₁B=120°，
∴l=2×[

1

3

×(2π×2)]=

8π

3

；

解法二：∵O₁A=O₁B=O₂A=O₂B
∴四邊形AO₁BO₂是菱形，
∴∠AO₂B=∠AO₁B=120°，
∴l=2×

AO2B

=2×

120×π×2

180

=2×

120×π×2

180

=

8π

3

；

（2）∵由（1）知，菱形AO₁BO₂中∠AO₂B=∠AO₁B=x度，
∴重疊圖形的周長y=2×

2×π×x

180

，即y=

π

45

x（0≤x≤180）；

（3）當y=2π時，線段O₂A所在的直線與⊙O₁相切！
理由如下：∵y=2π，由（2）可知：

π

45

x=2π，
解得：x=90（度），
∴∠AO₁B=90°，因此菱形AO₁BO₂是正方形，
∴∠O₁AO₂=90°，即O₂A⊥O₁A，
而O₁A是⊙O₁的半徑，且A為半徑之外端；
∴O₂A與⊙O₁相切．
還有如下位置關系：當0≤x≤90°和0≤x≤180°時，線段O₂A所在的直線與⊙O₁相交．

點評：此題主要考查了切線的判定以及弧長公式的應用和直線與圓的位置關系，利用數形結合得出直線與圓的位置關系是解題關鍵．