Question

【題目】古希臘著名的畢達哥拉斯學派把1，3，6，10，…這樣的數稱為“三角形數”，而把1，4，9，16，…這樣的數稱為“正方形數”.

（1）第5個“三角形數”是 ，第n個“三角形數”是 ，第5個“正方形數”是 ，第n個“正方形數”是 .

（2）除“1”以外，請再寫一個既是“三角形數”，又是“正方形數”的數 .

（3）經探究我們發現：任何一個大于1的“正方形數”都可以看做兩個相鄰“三角形數”之和. 例如：①4=1+3；②9=3+6；③16=6+10；④ ；⑤ ；…請寫出上面第4個和第5個等式.

（4）在（3）中，請探究n2= + 。

Answer 1

【答案】（1）15，，25，n2；（2）36；

（3）25=10+15，36=15+21；

（4）見解析

【解析】（1）觀察發現，第5個三角形數等于第4個三角形數加上5，即為15，第n個“三角形數”等于第（n﹣1）個“三角形數”加上n，即為1+2+3+…+n，計算即可；第5個“正方形數”是52，第n個正方形數是n2；

（2）根據①4=1+3，②9=3+6，③16=6+10即可得出第4個等式為第5個三角形數等于第4個三角形數加上第5個三角形數，第5個等式為第6個三角形數等于第5個三角形數加上第6個三角形數；

（3）第n個等式為第（n+1）個“三角形數”等于第n個“三角形數”加上第（n+1）個“三角形數”．

解：（1）15，，25，n2；（2）1+2+3+4+5+6+7+8=36，62=36，所以36是三角形數，也是正方形數

（3）25=10+15，36=15+21；

（4），

∵右邊=

=

=n2+2n+1=（n+1）2=左邊，

∴原等式成立．

故答案為15，，25，n2；25=10+15，36=15+21．