Question

已知如圖拋物線y=x²-2x-3與x軸交于A、B兩點（A在B的左側）與y軸交于C點，頂點為D．
（1）求出A、B、C、D四點坐標；
（2）判斷△AOC與△BCD是否相似，并說明理由；
（3）過C作直線CE平行x軸交拋物線另一個交點為E，動點F從C點開始，以每秒個單位的速度沿CF方向在射線CE上運動，動點G從B點開始以每秒4個單位速度沿BC方向在射線BC上運動．設動點F、G同時出發運動時間為t，問在拋物線上是否存在點H；使以C、G、H、F四點為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出相應t的值和H的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）令y=0，即x²-2x-3=0，則x=3，x=-1，
∴A（-1，0），B（3，0）；
令x=0，即y=-3，
∴C（0，-3）；
由于y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
故頂點D（1，-4）．

（2）相似，理由如下：
∵A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），D（1，-4），
∴OA=1，OC=3，AC=；
CD=，BC=3，BD=2；
∴=，
故△AOC∽△DCB．

（3）分別過C、F、G作FG、CG、CF的平行線，三線交于H₁、H₂、H₃（如圖）；
則四邊形CFGH₁、四邊形CFH₂G、四邊形H₃FGC都是平行四邊形；
過G作GM⊥x軸于M；
由于OB=OC=3，則∠OBC=45°；
易知BG=4t，則BM=MG=2t，OM=3-2t；
故G（3-2t，-2t）；
由于四邊形CFGH₁、四邊形CFH₂G都是平行四邊形，
故H₁G=GH₂=CF=t，
∴H₁（3-3t，-2t），H₂（3-t，-2t）；
把H₁代入拋物線的解析式中得：
（3-3t）²-2（3-3t）-3=-2t，
即9t²-5t=0；
解得t=0（舍去），t=；
當t=時，H₁（-，-）；
把H₂代入拋物線的解析式中得：
（3-t）²-2（3-t）-3=-2t，
即t²-t=0；
解得t=0（舍去），t=；
當t=時，H₂（1，-4）；
過G作GP⊥y軸于P，過H₃作H₃Q⊥y軸于Q；
則有H₃Q=GP-CF=3-2t-t=3-3t，CQ=CP=3-2t；
∴OQ=OC+CQ=6-2t；
∴H₃（3t-3，2t-6）；
將H₃代入拋物線的解析式中，有：
（3t-3）²-2（3t-3）-3=2t-6，
即9t²-13t+9=0，
解得t=；
當t=時，H₃（，）；
當t=時，H₄（，）．
故存在符合條件的H點，且：
當t=時，H₁（-，-）；
當t=時，H₂（1，-4）；
當t=時，H₃（，）；
當t=時，H₄（，）．
分析：（1）拋物線的解析式中，令y=0，可求得點A、B的坐標，令x=0，可求得點C的坐標；將拋物線的解析式化為頂點坐標式，即可求得點D的坐標．
（2）根據已知的A、B、C、D的坐標，可求得兩個三角形各自的三邊長，然后證△BCD、△AOC的對應邊成比例即可．
（3）此題可先求出滿足以C、F、H、G四點為頂點的平行四邊形的H點坐標，然后代入拋物線的解析式中進行驗證即可．
分別過C、F、G作FG、CG、CF的平行線，那么這些平行線的交點即為所求的H點，設為H₁、H₂、H₃，過G作GN⊥x軸于N，由于∠OBC=45°，即可根據BG的長表示出GN、BN的值，而CP的長易求得，根據平行四邊形的性質（兩組對邊平行且相等），即可得到H₁、H₂的坐標，然后將它們代入拋物線的解析式中進行驗證即可，若所得方程有解，則所得的解即為符合條件的H點坐標，若無解，則是說明不存在符合條件的H點．H₃的坐標求法同上．
點評：此題考查了二次函數圖象與坐標軸交點坐標的求法、相似三角形的判定和性質、平行四邊形的判定等重要知識，綜合性強，難度較大．在涉及動點問題時，一般要考慮分類討論思想的運用．