Question

運動探究
如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=AC=10，CP⊥AB于P，頂點C從O點出發沿x軸正方向移動，頂點A隨之從y軸正半軸上一點移動到點O為止．
（1）若點P的坐標為（m，n），求證：m=n；
（2）若OC=6，求點P的坐標；
（3）填空：在點C移動的過程中，點P也隨之移動，則點P運動的總路徑長為______．

Answer 1

解：（1）過點P作PM⊥x軸于M，PN⊥y軸于N，
∵∠ACB=90°，BC=AC=10，CP⊥AB，
∴AP=BP=CP，
又∵∠PMC=∠PNA，∠CPM=∠APN=90°-∠CPN，
∴△PCM≌△PAN，
∴PM=PN，即m=n；

（2）設CM=x，則PM=x+6，
∵BC=AC=10，∴AB=10，
∴PC=5，
在Rt△PCM中，PC²=PM²+CM²，
即（5）²=（x+6）²+x²，
解得x=1或-7（舍去負數）
∴CM=1，PM=7，
∴點P的坐標（7，7）；

（3）如圖，當點A與O重合時，點P到達最高點，即點Q；當點C與O重合時，點P到達最低點，即點P；
設CE=x，則AE=10-x，在直角三角形ADE中，
由勾股定理得2（10-x）²=100，
解得x=10-5，
則PQ=10-5，
故點P運動的總路徑長為20-10．
故答案為20-10．
分析：（1）過點P作PM⊥x軸于M，PN⊥y軸于N，可證明△PCM≌△PAN，則PM=PN，即m=n；
（2）設CM=x，則PE=x+6，在直角三角形PCE中，由勾股定理得出x，從而得出點P的坐標；
（3）在此動過程中，當點A與O重合時，點P到達最高點；當點C與O重合時，點P到達最低點；根據三角形全等得出PQ，點P運動的總路徑長為2PQ．
點評：本題考查了直角三角形斜邊上的中線、全等三角形的判定和性質以及勾股定理和坐標和圖形的性質，是一道綜合題，難度偏大．