Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，O為矩形ABCD的中心，以D為圓心1為半徑作⊙D，P為⊙D上的一個動點，連接AP，OP，則△AOP面積的最大值為_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

當P點移動到平行于OA且與⊙D相切時，△AOP面積的最大，由于P為切點，得出MP垂直與切線，進而得出PM⊥AC，根據勾股定理先求得AC的長，進而求得OA的長，根據△ADM∽△ACD，求得DM的長，從而求得PM的長，最后根據三角形的面積公式即可求得；

解：當P點移動到過點P的直線平行于OA且與⊙D相切時，△AOP面積的最大，如圖，

∵過P的直線是⊙D的切線，

∴DP垂直于切線，

延長PD交AC于M，則DM⊥AC，

∵在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，

∴AC＝，

∴OA＝，

∵∠AMD＝∠ADC＝90°，∠DAM＝∠CAD，

∴△ADM∽△ACD，

∴，

∵AD＝4，CD＝3，AC＝5，

∴DM＝ ，

∴PM＝PD+DM＝1+＝ ，

∴△AOP的最大面積＝OAPM＝××＝，

故答案為：．