Question

近年來，為了增強市民環保意識，政府決定對購買太陽能熱水器的市民政策補貼，規定：每購買一臺該熱水器，政府補貼若干元，經調查某商場銷售太陽能熱水器y（臺）與每臺補貼款額x（元）之間大致滿足如圖（1）所示的一次函數關系．隨著補貼款額的不斷增大，銷售量也不斷增加，但每臺熱水器的收益Z（元）會相應降低，且Z與x之間也大致滿足如圖（2）的一次函數關系．
（1）在政府未出臺補貼措施之前（即補貼款為0元），該商場銷售太陽能熱水器的總收益額為多少元？
（2）在政府補貼政策實施后，分別求出該商場銷售太陽能熱水器臺數y和每臺熱水器的收益Z與政府補貼款額x之間的函數關系．
（3）要使該商場銷售熱水器的總收益額W（元）最大，政府應將每臺補貼x設為多少元？并求出總收益W的最大值．

Answer 1

解：（1）該商場銷售太陽能熱水器的總收益為
800×200=160000（元）；

（2）根據題意設
y=k₁x+800，Z=k₂x+200
∴400k₁+800=1200，200k₂+200=160
解得k₁=1，k₂=-
∴y=x+800，Z=-x+200；

（3）W=yZ=（x+800）•（-x+200），
=-（x-100）²+162000．
∵-＜0，
∴W有最大值．
當x=100時，W最大=162000
∴政府應將每臺補貼款額x定為100元，總收益有最大值，其最大值為162000元．
分析：（1）根據總收益=每臺收益×總臺數求出即可；
（2）結合圖象信息分別利用待定系數法求解即可；
（3）把y與z的表達式代入進行整理，求出二次函數最值即可．
點評：本題主要考查待定系數法求函數解析式和二次函數的最值問題，利用數形結合得出得出函數解析式是解題關鍵．