Question

如圖，已知拋物線y=

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2

x2+mx-2與直線y=x交于A、B兩點，與y軸交于點C，且BC∥x軸．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設D、E是線段AB上異于A、B的兩個動點（點E在點D的上方），DE=

2

，過D、E兩點分別作y軸的平行線，交拋物線于F、G，若設D點的橫坐標為x，四邊形DEGF的面積為y，求y與x之間的關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）當（2）中的線段DE在移動過程中，四邊形DEGF能否成為菱形？若能，請求出相應x的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由拋物線的解析式知：點C的縱坐標為-2，而BC∥x軸，那么點B的縱坐標也為-2，根據直線AB的解析式即可確定B點的坐標，然后將其代入拋物線的解析式中，可求得m的值，從而確定該拋物線的解析式．
（2）過D作DM⊥EG于M，易知∠EDM=45°，那么DM=1，可設出點D的橫坐標，進而根據DM的長表示出E點的橫坐標，由直線AB和拋物線的解析式可求得D、E、F、G的縱坐標，從而得到DF、EC的長，由于四邊形ECFD是個梯形，那么根據梯形的面積公式即可得到y、x的函數關系式．
（3）若四邊形EGFD是菱形，首先應該滿足四邊形EGFD是個平行四邊形，那么EG=DF，可根據（2）題得到的兩條線段的表達式，列方程求出點DF、CE的長，然后判斷DF是否與DE相等即可．

解答：解：（1）易知C（0，-2），則B點的縱坐標也為-2；
由于點B在直線y=x上，則B（-2，-2），代入拋物線的解析式中，可得：

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×（-2）²-2m-2=-2，
解得m=1；
故：y=

1

2

x2+x-2；

（2）過D作DM⊥EG于M；
△DEM中，DE=

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，∠EDM=45°，則DM=1；
設D（x，x），則E（x+1，x+1），
F（x，

1

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x²+x-2），G（x+1，

1

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（x+1）²+（x+1）-2）；
故DF=x-（

1

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x²+x-2）=2-

1

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x²，
EG=（x+1）-[

1

2

（x+1）²+（x+1）-2]=2-

1

2

（x+1）²；
則y=

1

2

（DF+EG）×DM=

1

2

[2-

1

2

x²+2-

1

2

（x+1）²]×1，
整理得：y=-

1

2

x2-

1

2

x+

7

4

，
x的取值范圍是-2＜x＜1．

（3）四邊形DEGF不能成為菱形，理由如下：
若四邊形DEGF是菱形，則四邊形DEGF必須是個平行四邊形，得：
DF=EG，
即2-

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2

x²=2-

1

2

（x+1）²；
解得x=-

1

2

，
則DF=EG=

15

8

≠DE；
故四邊形DEGF不可能成為菱形．

點評：此題考查了二次函數解析式的確定、圖形面積的求法、菱形的判定方法等知識，難度適中．