Question

如圖，E，F分別是正方形ABCD的邊CD、AD上的點．且CE=DF，AE、BF相交于點O，下列結論：①AE=BF，②AE⊥BF，③AO=OE，④S_△AOB=S_{四邊形DEOF}中，錯誤的有

③

．（只填序號）

Answer 1

分析：根據正方形的性質可得∠BAF=∠D=90°，AB=AD=CD，然后求出AF=DE，再利用“邊角邊”證明△ABF和△DAE全等，根據全等三角形對應邊相等可得AE=BF，從而判定出①正確；再根據全等三角形對應角相等可得∠ABF=∠DAE，然后證明∠ABF+∠BAO=90°，再得到∠AOB=90°，從而得出AE⊥BF，判斷②正確；假設AO=OE，根據線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質可得AB=BE，再根據直角三角形斜邊大于直角邊可得BE＞BC，即BE＞AB，從而判斷③錯誤；根據全等三角形的面積相等可得S_△ABF=S_△ADE，然后都減去△AOF的面積，即可得解，從而判斷④正確．

解答：解：在正方形ABCD中，∠BAF=∠D=90°，AB=AD=CD，
∵CE=DF，
∴AD-DF=CD-CE，
即AF=DE，
在△ABF和△DAE中，

AB=AD ∠BAF=∠D=90° AF=DE

，
∴△ABF≌△DAE（SAS），
∴AE=BF，故①正確；
∠ABF=∠DAE，
∵∠DAE+∠BAO=90°，
∴∠ABF+∠BAO=90°，
在△ABO中，∠AOB=180°-（∠ABF+∠BAO）=180°-90°=90°，
∴AE⊥BF，故②正確；
假設AO=OE，
∵AE⊥BF（已證），
∴AB=BE（線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等），
∵在Rt△BCE中，BE＞BC，
∴AB＞BC，這與正方形的邊長AB=BC相矛盾，
所以，假設不成立，AO≠OE，故③錯誤；
∵△ABF≌△DAE，
∴S_△ABF=S_△DAE，
∴S_△ABF-S_△AOF=S_△DAE-S_△AOF，
即S_△AOB=S_{四邊形DEOF}，故④正確；
綜上所述，錯誤的有③．
故答案為：③．

點評：本題考查了正方形的四條邊都相等，每一個角都是直角的性質，全等三角形的判定與性質，綜合題但難度不大，求出△ABF和△DAE全等是解題的關鍵，也是本題的突破口．