Question

【題目】如圖，二次函數y=ax2+bx+c的圖象交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，且B（1，0），C（0，3），將△BOC繞點O按逆時針方向旋轉90°，C點恰好與A重合．

（1）求該二次函數的解析式；

（2）若點P為線段AB上的任一動點，過點P作PE∥AC，交BC于點E，連結CP，求△PCE面積S的最大值；

（3）設拋物線的頂點為M，Q為它的圖象上的任一動點，若△OMQ為以OM為底的等腰三角形，求Q點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3（2）（3）Q（，），或（，）

【解析】試題分析：（1）根據題意求出A、B、C的坐標，然后根據待定系數法求函數的解析式即可；

（2）設點P（x，0），則PB=1﹣x，根據三角形的面積可得二次函數的解析式，然后根據二次函數的最值可求解；

（3）根據配方法求出頂點的坐標，然后根據等腰三角形的性質，結合勾股定理列方程可求解.

試題解析：（1）∵B（1，0），C（0，3），∴OB=1，OC=3．

∵△BOC繞點O按逆時針方向旋轉90°，C點恰好與A重合．

∴OA=OC=3，∴A（﹣3，0），

∵點A，B，C在拋物線上，

∴，∴，∴二次函數的解析式為y=﹣x2﹣2x+3，

（2）設點P（x，0），則PB=1﹣x，

∴S△PBE=（1﹣x）2，

∴S△PCE=S△PBC﹣S△PBE=PB×OC﹣（1﹣x）2=（1﹣x）×3﹣（1﹣x）2=﹣（x﹣1）2+，

當x=1時，S△PCE的最大值為．

（3）∵二次函數的解析式為y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，

∴頂點坐標（﹣1，4），

∵△OMQ為等腰三角形，OM為底，

∴MQ=OQ，

∴=，

∴8x2+18x=7=0，∴x=，∴y=或y=，

∴Q（，），或（，）．