【題目】一輛貨車從A地出發以每小時80km的速度勻速駛往B地,一段時間后,一輛轎車從B地出發沿同一條路勻速駛往A地.貨車行駛3小時后,在距B地160km處與轎車相遇.圖中線段表示貨車離B地的距離y1與貨車行駛的時間x的關系.
(1)AB兩地之間的距離為 km;
(2)求y1與x之間的函數關系式;
(3)若兩車同時到達各自目的地,在同一坐標系中畫出轎車離B地的距離y2與貨車行駛時間x的函數圖像,用文字說明該圖像與x軸交點所表示的實際意義.
【答案】(1)400;(2)y1=-80x+400;(3)詳見解析,貨車從A地出發小時后,轎車從B地出發.
【解析】
(1)根據貨車行駛的路程+貨車離B地的路程即可得出A、B兩地之間的距離;
(2)根據函數圖象經過的點設出一次函數的解析式用待定系數法求一次函數的解析式即可;
(3)作出一次函數的圖象并根據圖象得到交點坐標所表示的意義是貨車從A地出發小時后轎車從B地出發.
(1)AB兩地之間的距離為:80×3+160=400km,
故答案為:400;
(2)因為貨車從A地出發以每小時80km的速度勻速駛往B地,
所以y1+80x=b,代入點(3,160),得b=400.
∴y1=-80x+400;
(3)如圖,線段y2即為所求的圖像;
貨車行駛的時間為400÷80=5h,則可求設y2的函數表達式為y2=mx+n
把(5,400),(3,160)分別代入y2=mx+n得,
解得,
∴y2=120x-200,
當y=0時,x=,
故該圖像與x軸交點坐標為(,0).
它表示的實際意義:貨車從A地出發小時后,轎車從B地出發.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,直線AB與函數y=(x>0)的圖象交于點A(m,2),B(2,n).過點A作AC平行于x軸交y軸于點C,在y軸負半軸上取一點D,使OD=
OC,且△ACD的面積是6,連接BC.
(1)求m,k,n的值;
(2)求△ABC的面積.
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【題目】如圖,直線與反比例函數
的圖象交于點
和點
.
(1)求直線和反比例函數的解析式;
(2)若直線與
軸、
軸分別交于點
、
,嘉淇認為
,請通過計算說明她的觀點是否正確.
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【題目】在平面直角坐標系中,為原點,點A(
,0),點B(0,1),點E是邊AB中點,把
繞點A順時針旋轉,得△ADC,點O,B旋轉后的對應點分別為D,C.記旋轉角為
.
(Ⅰ)如圖①,當點D恰好在AB上時,求點D的坐標;
(Ⅱ)如圖②,若時,求證:四邊形OECD是平行四邊形;
(Ⅲ)連接OC,在旋轉的過程中,求△OEC面積的最大值(直接寫出結果即可).
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【題目】如圖,為等邊
的高,
,點P為直線
上的動點(不與點B重合),連接
,將線段
繞點P逆時針旋轉60°,得到線段
,連接
、
.
(1)問題發現:如圖①,當點D在直線上時,線段
與
的數量關系為_________,
_________;
(2)拓展探究:如圖②,當點P在的延長線上時,(1)中結論是否成立?若成立,請加以證明;若不成立,請說明理由;
(3)問題解決:當時,請直接寫出線段
的長度.
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【題目】(概念認識)
在同一個圓中兩條互相垂直且相等的弦定義為“等垂弦”,兩條弦所在直線的交點為等垂弦的分割點.如圖①,AB、CD是⊙O的弦,AB=CD,AB⊥CD,垂足為E,則AB、CD是等垂弦,E為等垂弦AB、CD的分割點.
(數學理解)
(1)如圖②,AB是⊙O的弦,作OC⊥OA、OD⊥OB,分別交⊙O于點C、D,連接CD.求證: AB、CD是⊙O的等垂弦.
(2)在⊙O中,⊙O的半徑為5,E為等垂弦AB、CD的分割點,.求AB的長度.
(問題解決)
(3)AB、CD是⊙O的兩條弦,CD=AB,且CD⊥AB,垂足為F.
①在圖③中,利用直尺和圓規作弦CD(保留作圖痕跡,不寫作法).
②若⊙O的半徑為r,AB=mr(m為常數),垂足F與⊙O的位置關系隨m的值變化而變化,直接寫出點F與⊙O的位置關系及對應的m的取值范圍.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C,對稱軸為直線x=2,點A的坐標為(1,0).
(1)求該拋物線的表達式及頂點坐標;
(2)點P為拋物線上一點(不與點A重合),連接PC.當∠PCB=∠ACB時,求點P的坐標;
(3)在(2)的條件下,將拋物線沿平行于y軸的方向向下平移,平移后的拋物線的頂點為點D,點P的對應點為點Q,當OD⊥DQ時,求拋物線平移的距離.
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【題目】工廠甲、乙兩個部門各有員工400人,為了解這兩個部門員工的生產技能情況,進行了抽樣調查,請將下列過程補充完整:
收集數據:
從甲、乙兩個部門各隨機抽取20名員工,進行了生產技能測試,測試成績(百分制)如下:
整理、描述數據:
按如下分數段整理、描述這兩組樣本數據:
成績 人數 部門 | 40≤x≤49 | 50≤x≤59 | 60≤x≤69 | 70≤x≤79 | 80≤x≤89 | 90≤x≤100 |
甲 | 0 | 0 | 1 | 11 | 7 | 1 |
乙 |
(說明:成績80分及以上為生產技能優秀,70—79分為生產技能良好,60—69分為生產技能合格,60分以下為生產技能不合格)
分析數據:
兩組樣本數據的平均數、中位數、眾數如下表所示:
部門 | 平均數 | 中位數 | 眾數 |
甲 | 78.3 | 77.5 | |
乙 | 78 | 81 |
得出結論:
.估計乙部門生產技能優秀的員工人數約為 .
.可以推斷出 部門員工的生產技能水平高.理由為 .
(至少從兩個不同的角度說明推斷的合理性)
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【題目】閱讀材料:以下是我們教科書中的一段內容,請仔細閱讀,并解答有關問題.
公元前3世紀,古希臘學家阿基米德發現:若杠桿上的兩物體與支點的距離與其重量成反比,則杠桿平衡,后來人們把它歸納為“杠桿原理”,通俗地說,杠桿原理為:
阻力×阻力臂=動力×動力臂
(問題解決)
若工人師傅欲用撬棍動一塊大石頭,已知阻力和阻力臂不變,分別為1500N和0.4m.
(1)動力F(N)與動力臂l(m)有怎樣的函數關系?當動力臂為1.5m時,撬動石頭需要多大的力?
(2)若想使動力F(N)不超過題(1)中所用力的一半,則動力臂至少要加長多少?
(數學思考)
(3)請用數學知識解釋:我們使用棍,當阻力與阻力臂一定時,為什么動力臂越長越省力.
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