Question

【題目】在平面直角坐標系中，正方形ABCD的位置如圖所示，點A的坐標為（1，0），點D的坐標為（0，2）．延長CB交x軸于點A1，作正方形A1B1C1C；延長C1B1交x軸于點A2，作正方形A2B2C2C1…按這樣的規律進行下去，第2012個正方形的面積為（　�。�

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

先根據兩對對應角相等的三角形相似，證明△AOD和△A1BA相似，根據相似三角形對應邊成比例可以得到AB=2A1B，所以正方形A1B1C1C的邊長等于正方形ABCD邊長的，以此類推，后一個正方形的邊長是前一個正方形的邊長的，然后即可求出第2014個正方形的邊長與第1個正方形的邊長的關系，從而求出第2012個正方形的面積．

解：如圖，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC，

∴∠ABA1=90°，∠DAO+∠BAA1=90°，

又∵在坐標平面內，∠DAO+∠ADO=90°，

∴∠ADO=∠BAA1，

在△AOD和△A1BA中，，

∴△AOD∽△A1BA，

∴OD：AO=AB：A1B=2，

∴BC=2A1B，

∴A1C=BC，

以此類推A2C1=A1C，A3C2=A2C1，…，

即后一個正方形的邊長是前一個正方形的邊長的倍，

∴第2012個正方形的邊長為（）2011BC，

∵A的坐標為（1，0），D點坐標為（0，2），

∴BC=AD=，

∴第2012個正方形的面積為：[（）2011BC]2=5×（）4022．

故選：D.