Question

如圖，已知△ABC，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點P是BC中點，兩邊PE，PF分別交AB、AC于E、F．下列結論：
①AE=CF，②∠APE=∠CPF，③△EPF是等腰直角三角形，④EF=AP，⑤S_{四邊形AEPF}=S_△ABC．
當∠EPF在△ABC內繞點P旋轉時（E不與A、B重合），上述結論始終正確的有

1. A.
   ①②③④
2. B.
   ①②③⑤
3. C.
   ①②④⑤
4. D.
   ②③④⑤

Answer 1

C
分析：由于AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中點，根據等腰直角三角形的性質得到AP⊥BC，AP=PB=PC，則可判斷△APB和△APC都是等腰直角三角形，于是∠BAP=∠C=45°，然后根據等角的余角相等可得到∠APE=∠CPF；所以利用“ASA”可判斷△APE≌△CPF，根據三角形全等的性質得AE=CF；PE=PF，可判斷△EPF是等腰直角三角形，得到EF=PE，只有當PE⊥AB時，AP=PE，AP=EF；再利用S_△APE=S_△CPF可得到S_{四邊形AEPF}=S_△APC=S_△ABC．
解答：∵AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中點，
∴AP⊥BC，AP=PB=PC，
∴△APB和△APC都是等腰直角三角形，
∴∠BAP=∠C=45°，
∵∠EPF=90°，
∴∠APE+∠APF=90°，
而∠APF+∠CPF=90°，
∴∠APE=∠CPF，所以②正確；
在△APE和△CPF中
，
∴△APE≌△CPF（ASA），
∴AE=CF；所以①正確；
∴PE=PF，
∴△EPF是等腰直角三角形，所以③正確；
∴EF=PE，
當PE⊥AB時，AP=PE，此時AP=EF，所以④錯誤；
∵△APE≌△CPF，
∴S_△APE=S_△CPF，
∴S_{四邊形AEPF}=S_△APC=S_△ABC，所以⑤正確．
點評：本題考查了全等三角形的判定與性質：判斷三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的對應角相等，對應邊相等．也考查了等腰直角三角形的判定與性質．