Question

已知二次函數圖象的頂點在原點O，對稱軸為y軸，一次函數y=kx+1的圖象與二次函數的圖象交于A，B兩點（A在B的左側），且A點坐標為（-4，4），平行于x軸的直線l過（0，-1）點。

（1）求一次函數與二次函數的解析式；
（2）判斷以線段AB為直徑的圓與直線l的位置關系，并給出證明；
（3）把二次函數的圖象向右平移2個單位，再向下平移t個單位（t＞0），二次函數的圖象與x軸交于M，N兩點，一次函數圖象交y軸于F點，當t為何值時，過F，M，N三點的圓的面積最小，最小面積是多少？

Answer 1

解：（1）把A（-4，4）代入y=kx+1得， ∴一次函數的解析式為； ∵二次函數圖象的頂點在原點，對稱軸為y軸， ∴設二次函數解析式為， 把A（-4，4）代入得， ∴二次函數的解析式為； （2）由，解得， ∴B， 過A，B點分別作直線l的垂線，垂足為， 則， ∴直角梯形的中位線長為， 過B作BH垂直于直線于點H，則， ， ∴， ∴AB的長等于AB中點到直線l的距離的2倍， ∴以AB為直徑的圓與直線l相切； （3）平移后二次函數解析式為， 令y=0，得， ∵過F，M，N三點的圓的圓心一定在直線x=2上，點F為定點， ∴要使圓面積最小，圓半徑應等于點F到直線x=2的距離， 此時，半徑為2，面積為4π， 設圓心為C，MN中點為E，連CE，CM，則CE=1， 在三角形CEM中，NE=， ∴，而， ∴t=3， 使用當t=3時，過F，M，N三點的圓面積最小，最小面積為4π。