Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線頂點為，且該拋物線與軸交于，兩點（點在點的左側）.我們規定：拋物線與軸圍成的封閉區域稱為“區域”（不包含邊界）；橫、縱坐標都是整數的點稱為整點.

（1）求拋物線頂點的坐標（用含的代數式表示）；

（2）如果拋物線經過.

①求的值；

②在①的條件下，直接寫出“區域”內整點的個數.

（3）如果拋物線在“區域”內有4個整點，直接寫出的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②6個；（3）或.

【解析】

（1）將拋物線改寫為頂點式，即可得到頂點坐標；

（2）①將（1,3）代入，即可求出的值；②根據函數圖像可判斷出整數的個數；

（3）分和兩種情況討論，根據有4個整點畫出圖像，可求出 的取值范圍.

（1）∵，

∴該拋物線的頂點為.

（2）①∵拋物線經過，

∴，解得.

②當時，，

令y=0，則，解得，，

設拋物線與x軸交于A、B兩點，則A（-1,0），B（3,0），拋物線圖像如下圖所示，

當時，，所以（0,1）和（0,2）兩個整數點在“區域”，

當時，，所以（1,1）和（1,2）兩個整數點在“區域”，

當時，，所以（2,1）和（2,2）兩個整數點在“區域”，

綜上所述，此“區域”內整點的個數為6個.

（3）當時，，

∴拋物線與y軸的交點為（0，-3a），

當時，

當時，

若，則函數圖像如下圖所示，

由圖像可知，如果拋物線在“區域”內有4個整點，

則，解得：；

若，則函數圖像如下圖所示，

由圖像可知，如果拋物線在“區域”內有4個整點，

則，解得：.

綜上所述，如果拋物線在“區域”內有4個整點，則的取值范圍為或.