Question

如圖，已知直線l：y=kx+b與雙曲線C：相交于點A（1，3）、B（-，2），點A關于原點的對稱點為P．
（1）求直線l和雙曲線C對應的函數關系式；
（2）求證：點P在雙曲線C上；
（3）找一條直線l₁，使△ABP沿l₁翻折后，點P能落在雙曲線C上．
（指出符合要求的l₁的一個解析式即可，不需說明理由）

Answer 1

解：（1）將點A、B的坐標代入y=kx+b中，得：，
解得：，即直線l的函數解析式為y=2x+1，
將A（1，3）代入反比例解析式得：3=，即m=3，
∴雙曲線C對應的函數解析式為y=；
（2）∵P為A關于原點的對稱點，∴P坐標為（-1，-3），
將x=-1代入反比例解析式中，得：y==-3，即P符合反比例解析式，
則P點在雙曲線C上；
（3）直線l₁的解析式為y=x或y=-x．
分析：（1）將A與B的坐標代入一次函數解析式中，求出k與b的值，確定出直線l的函數解析式，將A的坐標代入反比例解析式中，求出m的值，即可確定出雙曲線解析式；
（2）由P為A關于原點的對稱點，由A坐標求出P的坐標，代入反比例解析式中檢驗即可得證；
（3）由反比例函數關于y=x或y=-x對稱，故直線l₁為y=x或y=-x符合題意．
點評：此題考查了一次函數與反比例函數的交點問題，涉及的知識有：坐標與圖形性質，待定系數法確定函數解析式，關于原點對稱點的特點，反比例函數的圖象與性質，熟練掌握待定系數法是解本題的關鍵．