Question

（2013•蘿崗區一模）如圖1，四邊形ABHC，ADEF都是正方形，D、F分別在AB、AC邊上，此時BD=CF，BD⊥CF成立．
（1）當正方形ADEF繞點A逆時針旋轉θ（0°＜θ＜90°）時，如圖2，BD=CF成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．
（2）當正方形ADEF繞點A逆時針旋轉45°時，如圖3，延長BD交CF于點G，設BG交AC于點M．
①求證：BD⊥CF；
②當AB=4，AD=

2

時，求線段BG的長．

Answer 1

分析：（1）根據正方形性質得出AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°，求出∠BAD=∠CAF，根據SAS證出B≌△FAC即可．
（2）①根據全等三角形的性質得出∠FCA=∠DBA，求出∠CMG+∠FCA=∠DBA+∠BMA=90°，求出∠CGM的度數即可．
②過點F作FN⊥AC于點N，求出FN=AN=

1

2

AE=1，AE=2，連接BC，求出CN=3，BC=4

2

，根據tan∠ABM=tan∠FCN=

1

3

求出AM=

1

3

AB=

4

3

，求出BM，求出CM，證△BMA∽△CMG，得出

BM

AB

=

CM

CG

，求出CG，根據勾股定理求出即可．

解答：解：（1）BD=CF成立，
理由是：∵四邊形ABHC和四邊形ADEF是正方形，
∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAF-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAF，
在△DAB和△FAC中

AB=AC ∠DAB=∠FAC AD=AF

∴△DAB≌△FAC（SAS），
∴BD=CF．

（2）①證明：∵△DAB≌△FAC，
∴∠FCA=∠DBA，
∵∠CMG=∠BMA，∠CAB=90°，
∴∠CMG+∠FCA=∠DBA+∠BMA=180°-∠CAB=90°，
∴在△CGM中，∠CGM=180°-90°=90°，
∴BD⊥CF．

②解：過點F作FN⊥AC于點N，
∵在正方形ADEF中，AD=

2

=AF，∠DAB=45°，
∴∠DAC=45°，∠FAN=45°，
∵FN⊥AC，
∴∠FNA=90°，
∴∠NFA=45°=∠FAN，
∴FN=AN，
∵四邊形ADEF是正方形，
∴AD=AF=EF=

2

，∠EFA=90°，
∴由勾股定理得：AE=2，
∴FN=AN=1，
連接BC，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，
則CN=4-1=3，BC=

AC2+AB2

=4

2

，
即在Rt△FCN中，tan∠FCN=

FN

CN

=

1

3

，
在Rt△ABM中，tan∠ABM=tan∠FCN=

1

3

，
∴AM=

1

3

AB=

4

3

，
在Rt△BAM中，由勾股定理得：BM=

AB2+AM2

=

42+( 4 3 )2

=

4 10

3

，
CM=AC-AM=4-

4

3

=

8

3

，
∵∠CMG=∠BMA，∠FCA=∠DBA，
∴△BMA∽△CMG，
∴

BM

AB

=

CM

CG

，
∴

4 10 3

4

=

8 3

CG

，
∴CG=

4 10

5

，
在Rt△BGC中，BG=

BC2-CG2

=

8 10

5

．

點評：本題考查了正方形的性質，全等三角形的性質和判定，勾股定理，相似三角形的性質和判定的應用，主要考查學生綜合運用定理進行推理的能力．