Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=﹣ x2+bx+c的圖象與坐標軸交于A、B、C三點，其中點A的坐標為（0，8），點B的坐標為（﹣4，0）．

（1）求該二次函數的表達式及點C的坐標；
（2）點D的坐標為（0，4），點F為該二次函數在第一象限內圖象上的動點，連接CD、CF，以CD、CF為鄰邊作平行四邊形CDEF，設平行四邊形CDEF的面積為S．
①求S的最大值；
②在點F的運動過程中，當點E落在該二次函數圖象上時，請直接寫出此時S的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把A（0，8），B（﹣4，0）代入y=﹣ x2+bx+c得 ，解得 ，

所以拋物線的解析式為y=﹣ x2+x+8；

當y=0時，﹣ x2+x+8=0，解得x1=﹣4，x2=8，

所以C點坐標為（8，0）

（2）

解：①連結OF，如圖，

設F（t，﹣ t2+t+8），

∵S四邊形OCFD=S△CDF+S△OCD=S△ODF+S△OCF，

∴S△CDF=S△ODF+S△OCF﹣S△OCD= 4t+ 8（﹣ t2+t+8）﹣ 48

=﹣t2+6t+16

=﹣（t﹣3）2+25，

當t=3時，△CDF的面積有最大值，最大值為25，

∵四邊形CDEF為平行四邊形，

∴S的最大值為50；

②∵四邊形CDEF為平行四邊形，

∴CD∥EF，CD=EF，

∵點C向左平移8個單位，再向上平移4個單位得到點D，

∴點F向左平移8個單位，再向上平移4個單位得到點E，即E（t﹣8，﹣ t2+t+12），

∵E（t﹣8，﹣ t2+t+12）在拋物線上，

∴﹣ （t﹣8）2+t﹣8+8=﹣ t2+t+12，解得t=7，

當t=7時，S△CDF=﹣（7﹣3）2+25=9，

∴此時S=2S△CDF=18．

【解析】（1）把A點和B點坐標代入y=﹣ x2+bx+c得到關于b、c的方程組，然后解方程組求出b、c即可得到拋物線的解析式；然后計算函數值為0時對應的自變量的值即可得到C點坐標（2）①連結OF，如圖，設F（t，﹣ t2+t+8），利用S四邊形OCFD=S△CDF+S△OCD=S△ODF+S△OCF ， 利用三角形面積公式得到S△CDF=﹣t2+6t+16，再利用二次函數的性質得到△CDF的面積有最大值，然后根據平行四邊形的性質可得S的最大值； ②由于四邊形CDEF為平行四邊形，則CD∥EF，CD=EF，利用C點和D的坐標特征可判斷點C向左平移8個單位，再向上平移4個單位得到點D，則點F向左平移8個單位，再向上平移4個單位得到點E，即E（t﹣8，﹣ t2+t+12），然后把E（t﹣8，﹣ t2+t+12）代入拋物線解析式得到關于t的方程，再解方程求出t后計算△CDF的面積，從而得到S的值．本題考查了二次函數的綜合題：熟練掌握二次函數圖象上點的坐標特征、二次函數的性質和平行四邊形的性質；會利用待定系數法求二次函數解析式；理解坐標與圖形性質，掌握點平移的坐標規律．