Question

【題目】如圖，二次函數y=x2+bx+c的圖象交x軸于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點，交y軸于點C，連接BC，動點P以每秒1個單位長度的速度從A向B運動，動點Q以每秒 個單位長度的速度從B向C運動，P、Q同時出發，連接PQ，當點Q到達C點時，P、Q同時停止運動，設運動時間為t秒．

（1）求二次函數的解析式；
（2）如圖1，當△BPQ為直角三角形時，求t的值；
（3）如圖2，過點Q作QN⊥x軸于N，交拋物線于點M，連結MC，MB，當t為何值時，△MCB的面積最大，并求出此時點M的坐標和△MCB面積的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵二次函數y=x2+bx+c的圖象交x軸于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點，

∴拋物線的解析式為y=（x+1）（x﹣3），整理得：y=x2﹣2x﹣3．

（2）

解：∵當x=0時，y=﹣3，

∴C（0，﹣3）．

∴OB=OC．

∴∠PBQ=45°．

如圖1所示：當∠PQB=90°時．則PB= BQ．

∵AP=t，BQ= t，AB=4，

∴AP+PB=t+2t=4．

∴t= ．

如圖2所示：當∠QPB=90°時．

∵∠PBQ=45°，∠BPQ=90°，

∴PB= BQ= × t=t．

∵AP=t，AB=4，

∴t+t=4．

解得：t=2．

綜上所述，當t=2或t= 時，△BPQ為直角三角形．

（3）

解：設直線BC的解析式為y=kx+b．

∵將C（0，﹣3）、B（3，0）代入得： ，解得：k=1，b=﹣3，

∴直線BC的解析式為y=x﹣3．

設M（a，a2﹣2a﹣3），則Q（a，a﹣3）．則QM=a﹣3﹣（a2﹣2a﹣3）=﹣a2+3a．

∵S△BCM= OBQM= ×3（﹣a2+3a）=﹣ （a2﹣3a）=﹣ （a﹣ ）2+ ，

∴當a= 時，△BCM的面積的最大值為 ．

∴點P的坐標（ ，﹣ ）．

【解析】（1）由題意可知a=1，依據二次函數的交點式可知拋物線的解析式為y=（x+1）（x﹣3），然后整理即可；（2）分為∠PQB=90°和∠BPQ=90°兩種情況求解．當∠PQB=90°時，PB= QB=2t，然后依據AB=AP+PB列方程求解即可；當∠BPQ=90°時，PB= QB=t，然后依據AB=AP+PB列方程求解即可；（3）先求得直線BC的解析式，然后設M（a，a2﹣2a﹣3），則Q（a，a﹣3）．則QM=﹣a2+3a．由S△BCM= OBQM，得到△BCN的面積與a的函數關系式，然后依據配方法可求得△BCN的面積的最大值以及點P的坐標．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數的圖象的相關知識，掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點，以及對二次函數的性質的理解，了解增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減�。�