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25、我國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾,較長的稱為股,斜邊稱為弦.并發現了“勾股定理”.若直角三角形三邊長都為正整數,則稱為一組勾股數,如“勾3股4弦5”.勾股數的尋找與判斷不是件很容易的事,不過還是有一些規律可循的.(以下n為正整數,且n≥2)
(1)觀察:3、4、5;   5、12、13;  7、24、25;…,
小明發現這幾組勾股數的勾都是奇數,從3起就沒有間斷過,且股和弦只相差1.小明根據發現的規律,推算出這一類的勾股數可以表示為:2n-1、2n(n-1)、2n(n-1)+1.請問:小明的這個結論正確嗎?
正確
.(直接回答正確或錯誤,不必證明)
(2)繼續觀察第一個數為偶數的情況:4、3、5;   6、8、10;   8、15、17;…,
親愛的同學們,你能像小明一樣發現每組勾股數中的其他兩邊長都有何規律嗎?若用2n表示第一個偶數,請分別用n的代數式來表示其他兩邊,并證明確實是勾股數.
分析:(1)小明的這個結論正確嗎.可以利用勾股定理的逆定理證明;
(2)由于這些數為:4、3、5;   6、8、10;   8、15、17;…,若用2n表示第一個偶數,那么其它兩個數為n2-1,c=n2+1,然后利用勾股定理的逆定理即可解決問題.
解答:解:(1)結論正確;

(2)∵這些數為:4、3、5;   6、8、10;   8、15、17;…,
若用2n表示第一個偶數,那么其它兩個數為n2-1,c=n2+1
∴(2n)2+(n2-1)2=n4+2n2+1=(n2+1 )2,
∴2n、n2-1、n2+1是一組勾股數.
 故答案為:正確.
點評:本題考查了勾股數的定義,及勾股定理的逆定理:已知△ABC的三邊滿足a2+b2=c2,則△ABC是直角三角形.
練習冊系列答案
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科目:初中數學 來源: 題型:

教材14章第1節讀一讀“我國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾,較長的稱為股,斜邊稱為弦,圖1稱為“弦圖”,最早是由三國時期數學家趙爽為《周髀算經》作注給出的,圖2是北京召開的2002年國際數學家大會(ICM2002)的會標,其圖案正是“弦圖”,它標志著中國古代數學的成就,請你根據圖1說明勾股定理c2=a2+b2成立的原因.

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我國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾,較長的稱為股,斜邊稱為弦.如圖稱為“弦圖”,最早是由三國時期的數學家趙爽在《周髀算經》中給出的,你能根據“弦圖”說明勾股定理的正確性嗎?(并寫出解答過程)

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科目:初中數學 來源: 題型:解答題

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