【題目】已知拋物線與x軸交于A(6,0)、B(﹣ ,0)兩點,與y軸交于點C,過拋物線上點M(1,3)作MN⊥x軸于點N,連接OM.
(1)求此拋物線的解析式;
(2)如圖1,將△OMN沿x軸向右平移t個單位(0≤t≤5)到△O′M′N′的位置,MN′、M′O′與直線AC分別交于點E、F.
①當點F為M′O′的中點時,求t的值;
②如圖2,若直線M′N′與拋物線相交于點G,過點G作GH∥M′O′交AC于點H,試確定線段EH是否存在最大值?若存在,求出它的最大值及此時t的值;若不存在,請說明理由.
【答案】
(1)
解:設拋物線解析式為y=a(x﹣6)(x+ ),把點M(1,3)代入得a=﹣
,
∴拋物線解析式為y=﹣ (x﹣6)(x+
),
∴y=﹣ x2+
x+2.
(2)
解:①如圖1中,AC與OM交于點G.連接EO′.
∵AO=6,OC=2,MN=3,ON=1,
∴ =3,
∴ ,∵∠AOC=∠MON=90°,
∴△AOC∽△MNO,
∴∠OAC=∠NMO,
∵∠NMO+∠MON=90°,
∴∠MON+∠OAC=90°,
∴∠AGO=90°,
∴OM⊥AC,
∵△M′N′O′是由△MNO平移所得,
∴O′M′∥OM,
∴O′M′⊥AC,
∵M′F=FO′,
∴EM′=EO′,
∵EN′∥CO,
∴ ,
∴ ,
∴EN′= (5﹣t),
在RT△EO′M′中,∵O′N′=1,EN′= (5﹣t),EO′=EM′=
+
t,
∴( +
t)2=1+(
﹣
t)2,
∴t=1.
②如圖2中,
∵GH∥O′M′,O′M′⊥AC,
∴GH⊥AC,
∴∠GHE=90°,
∵∠EGH+∠HEG=90°,∠AEN′+∠OAC=90°,∠HEG=∠AEN′,
∴∠OAC=∠HGE,∵∠GHE=∠AOC=90°,
∴△GHE∽△AOC,
∴ =
,
∴EG最大時,EH最大,
∵EG=GN′﹣EN′=﹣ (t+1)2+
(t+1)+2﹣
(5﹣t)=﹣
t2+
t+
=﹣
(t﹣2)2+
.
∴t=2時,EG最大值= ,
∴EH最大值= .
∴t=2時,EH最大值為 .
【解析】(1)設拋物線解析式為y=a(x﹣6)(x+ ),把點M(1,3)代入即可求出a,進而解決問題.
(2)①如圖1中,AC與OM交于點G.連接EO′,首先證明△AOC∽△MNO,推出OM⊥AC,在RT△EO′M′中,利用勾股定理列出方程即可解決問題. ②由△GHE∽△AOC得 =
=
,所以EG最大時,EH最大,構建二次函數求出EG的最大值即可解決問題.本題考查二次函數綜合題、相似三角形的判定和性質、勾股定理等知識,解題的關鍵是發現OM⊥CA,學會利用轉化的思想解決問題,學會構建二次函數解決最值問題,屬于中考壓軸題.
【考點精析】根據題目的已知條件,利用拋物線與坐標軸的交點的相關知識可以得到問題的答案,需要掌握一元二次方程的解是其對應的二次函數的圖像與x軸的交點坐標.因此一元二次方程中的b2-4ac,在二次函數中表示圖像與x軸是否有交點.當b2-4ac>0時,圖像與x軸有兩個交點;當b2-4ac=0時,圖像與x軸有一個交點;當b2-4ac<0時,圖像與x軸沒有交點.
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖數軸的A、B、C三點所表示的數分別為a、b、c.若|a﹣b|=3,|b﹣c|=5,且原點O與A、B的距離分別為4、1,則關于O的位置,下列敘述何者正確?( 。
A.在A的左邊
B.介于A、B之間
C.介于B、C之間
D.在C的右邊
查看答案和解析>>
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中.過一點分別作坐標軸的垂線,若與坐標軸圍成矩形的周長的數值與面積的數值相等,則這個點叫做和諧點.例如.圖中過點P分別作x軸,y軸的垂線.與坐標軸圍成矩形OAPB的周長的數值與面積的數值相等,則點P是和諧點.
(1)判斷點M(1,2),N(4,4)是否為和諧點,并說明理由;
(2)若和諧點P(a,3)在直線y=﹣x+b(b為常數)上,求a,b的值.
查看答案和解析>>
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖所示是長方體紙盒的平面展開圖,設 AB=x cm,若 AD =4x cm,AN=3x cm.
(1)求長方形 DEFG 的周長與長方形 ABMN 的周長(用字母 x 進行表示);
(2)若長方形 DEFG 的周長比長方形 ABMN 的周長少 8cm,求 x 的值;
(3)在第(2)問的條件下,求原長方體紙盒的容積.
查看答案和解析>>
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,“中國海監50”正在南海海域A處巡邏,島礁B上的中國海軍發現點A在點B的正西方向上,島礁C上的中國海軍發現點A在點C的南偏東30°方向上,已知點C在點B的北偏西60°方向上,且B、C兩地相距120海里.
(1)求出此時點A到島礁C的距離;
(2)若“中海監50”從A處沿AC方向向島礁C駛去,當到達點A′時,測得點B在A′的南偏東75°的方向上,求此時“中國海監50”的航行距離.(注:結果保留根號)
查看答案和解析>>
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】宜賓市某化工廠,現有A種原料52千克,B種原料64千克,現用這些原料生產甲、乙兩種產品共20件.已知生產1件甲種產品需要A種原料3千克,B種原料2千克;生產1件乙種產品需要A種原料2千克,B種原料4千克,則生產方案的種數為( 。
A.4
B.5
C.6
D.7
查看答案和解析>>
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】已知∠AOB=120°,∠COD=60°,OE平分∠BOC
(1)如圖①.當∠COD在∠AOB的內部時
①若∠AOC=39°40′,求∠DOE的度數;
②若∠AOC=α,求∠DOE的度數(用含α的代數式表示),
(2)如圖②,當∠COD在∠AOB的外部時,
①請直接寫出∠AOC與∠DOE的度數之間的關系;
②在∠AOC內部有一條射線OF,滿足∠AOC+2∠BOE=4∠AOF,寫出∠AOF與∠DOE的度數之間的關系.
查看答案和解析>>
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,一次函數y=kx+b的圖象與反比例函數y= (x>0)的圖象交于A(2,﹣1),B(
,n)兩點,直線y=2與y軸交于點C.
(1)求一次函數與反比例函數的解析式;
(2)求△ABC的面積.
查看答案和解析>>
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】已知二次函數y=ax2﹣bx﹣2(a≠0)的圖象的頂點在第四象限,且過點(﹣1,0),當a﹣b為整數時,ab的值為( )
A.或1
B.或1
C.或
D.或
查看答案和解析>>
湖北省互聯網違法和不良信息舉報平臺 | 網上有害信息舉報專區 | 電信詐騙舉報專區 | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區 | 涉企侵權舉報專區
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com