Question

如圖，半徑不等的兩圓相交于A、B兩點，線段CD經過點A，且分別交兩于C、D兩點，連接BC、CD，設P、Q、K分別是BC、BD、CD中點M、N分別是弧BC和弧BD的中點．
求證：①；②△KPM∽△NQK．

Answer 1

證明：①如圖：連接AB，BM，BN，
∵M是的中點，P是BC的中點，
∴MP⊥BC，∠BPM=90°，
同理NQ⊥BD，∠BQN=90°，
∴∠PBM=∠CAB=（180°-∠DAB）=90°-∠DAB=90°-∠NBD=∠QNB，
∴Rt△BPM∽Rt△NQB，
∴；

②∵P、K是BC、CD中點，
∴KP∥BD，且KP=BD=BQ，
∴四邊形PBQK是平行四邊形，
∴BP=KQ，BQ=KP，∠BPK=∠BQK，
由①得，
又∵∠KPM=∠KPB+90°=∠KQB+90°=∠NQK，
∴△KPM∽△NQK．
分析：①先連接AB，BM，BN，由于M是的中點，P是BC的中點，那么弧BM等于圓，易知MP⊥BC，∠BPM=90°，同理有NQ⊥BD，∠BQN=90°，再根據圓周角定理易證∠PBM=∠QNB，從而易證Rt△BPM∽Rt△NQB，那么；
②由于P、K是BC、CD中點，根據中位線定理可知KP∥BD，且KP=BD=BQ，根據平行四邊形的判定易證
四邊形PBQK是平行四邊形，于是BP=KQ，BQ=KP，∠BPK=∠BQK，結合①的結論，等量代換有得，根據平行四邊形的性質易證∠KPM=∠NQK，從而可證△KPM∽△NQK．
點評：本題考查了圓周所對的圓心角等于90°、相似三角形的判定和性質、平行四邊形的判定和性質、三角形中位線定理．