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【題目】對某一個函數給出如下定義:若存在實數M0,對于任意的函數值y,都滿足﹣M≤y≤M,則稱這個函數是有界函數,在所有滿足條件的M中,其最小值稱為這個函數的邊界值.例如,如圖中的函數是有界函數,其邊界值是1

1)分別判斷函數 y=x0)和y=x+1﹣4≤x≤2)是不是有界函數?若是有界函數,求其邊界值;

2)若函數y=﹣x+1a≤x≤b,ba)的邊界值是2,且這個函數的最大值也是2,求b的取值范圍;

3)將函數 y=x2﹣1≤x≤m,m≥0)的圖象向下平移m個單位,得到的函數的邊界值是t,當m在什么范圍時,滿足≤t≤1?

【答案】1)函數y=x0)不是有界函數.y=x+1﹣4≤x≤2)是有界函數.邊界值為:2+1=3;

2﹣1b≤3;

30≤m≤≤m≤1

【解析】

試題分析:1)根據有界函數的定義和函數的邊界值的定義進行答題;

2)根據函數的增減性、邊界值確定a=﹣1;然后由函數的最大值也是2”來求b的取值范圍;

3)需要分類討論:m1m≥1兩種情況.由函數解析式得到該函數圖象過點(﹣1,1)、(0,0),根據平移的性質得到這兩點平移后的坐標分別是(﹣1,1﹣m)、(0,﹣m);最后由函數邊界值的定義列出不等式≤1﹣m≤1﹣1≤﹣m≤﹣,易求m取值范圍:0≤m≤≤m≤1

解:(1)根據有界函數的定義知,函數y=x0)不是有界函數.

y=x+1﹣4≤x≤2)是有界函數.邊界值為:2+1=3

2函數y=﹣x+1的圖象是yx的增大而減小,

x=a時,y=﹣a+1=2,則a=﹣1

x=b時,y=﹣b+1.則,

﹣1b≤3;

3)若m1,函數向下平移m個單位后,x=0時,函數值小于﹣1,此時函數的邊界t1,與題意不符,故m≤1

x=﹣1時,y=1 即過點(﹣1,1

x=0時,y最小=0,即過點(0,0),

都向下平移m個單位,則

﹣11﹣m)、(0,﹣m

≤1﹣m≤1﹣1≤﹣m≤﹣

0≤m≤≤m≤1

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