Question

如圖，半徑為1的半圓O上有兩個動點A，B，若AB=1，則四邊形ABCD的面積的最大值是

3 3

4

．

Answer 1

分析：過點O作OH⊥AB于點H，連接OA，OB，分別過點A、H、B作AE⊥CD、HF⊥CD，BG⊥CD于點E、F、G，根據垂線段線段最短可知HF＜OH，再由梯形的中位線定理可知，HF=

1

2

（AE+BG），進而可得出結論．

解答：解：過點O作OH⊥AB于點H，連接OA，OB，分別過點A、H、B作AE⊥CD、HF⊥CD，BG⊥CD于點E、F、G，
∵AB=1，⊙O的半徑=1，
∴OH=

3

2

，
∵垂線段最短，
∴HF＜OH，
∴HF=

1

2

（AE+BG），
∴S_{四邊形ABCD}=S_△AOC+S_△AOB+S_△BOD=

1

2

×1×AE+

1

2

×1×

3

2

+

1

2

×1×BG
=

1

2

AE+

3

4

+

1

2

BG
=

1

2

（AE+BG）+

3

4

=HF+

3

4

≤OH+

3

4

=

3

2

+

3

4

=

3 3

4

．
故答案為：

3 3

4

．

點評：本題考查的是垂徑定理，根據題意作出輔助線，構造出等邊三角形是解答此題的關鍵．