Question

【題目】在中，，，以邊的中點為圓心，作半圓與相切，點分別是邊和半圓上的動點，連接，則長的最大值與最小值的和是__________．

Answer 1

【答案】9

【解析】

如圖，設O與AC相切于點E，連接OE，作OP1⊥BC垂足為P1交O于Q1，此時垂線段OP1最短，P1Q1最小為OP1-OQ1，當Q2在AB邊上時，P2與B重合時，P2Q2最大，即可得出答案．

如圖所示：

設O與AC相切于點E，連接OE，作OP1⊥BC垂足為P1交 O于Q1，

此時垂線段OP1最短，最小值為OP1-OQ1，

∵，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵AO=BO，

∴，

同理可求OE＝3，

即，

∴PQ最小值P1Q1=O P1-OQ1=1，

如圖，當在AB邊上時，與B重合時，P2Q2經過圓心，

∵經過圓心的弦最長，

∴PQ最小值P2Q2=O B-OQ2=3+5=8，

∴PQ長的最大值與最小值的和是1+8=9.

故答案為：9.