Question

我們知道，三角形的三條中線一定會交于一點，這一點就叫做三角形的重心。重心有很多美妙的性質，如在關線段比．面積比就有一些“漂亮”結論，利用這些性質可以解決三角形中的若干問題。請你利用重心的概念完成如下問題：

（1）若O是△ABC的重心（如圖1），連結AO并延長交BC于D，證明：；

（2）若AD是△ABC的一條中線（如圖2），O是AD上一點，且滿足，試判斷O是△ABC的重心嗎？如果是，請證明；如果不是，請說明理由；

（3）若O是△ABC的重心，過O的一條直線分別與AB、AC相交于G、H（均不與△ABC的頂點重合）（如圖3），S_{四邊形BCHG}．S_△AGH分別表示四邊形BCHG和△AGH的面積，試探究的最大值。

 

Answer 1

解：（1）證明：如圖1，連結CO并延長交AB于點P，連結PD。

∵點O是△ABC的重心，

∴P是AB的中點，D是BC的中點，PD是△ABC的中位線，AC=2PD， AC // PD，

∠DPO=∠ACO，∠PDO=∠CAO，

△OPD∽△CA，= = ,   = ,∴；

（2）點O是是△ABC的重心。

證明：如圖2，作△ABC的中線CP，與 AB邊交于點P，與△ABC的另一條中線AD交于點Q，則點Q是△ABC的重心，根據（1）中的證明可知 ，

而 ，點Q與點O重合（是同一個點），所以點O是△ABC的重心；

（3）如圖3，連結CO交AB于F，連結BO交AC于E，過點O分別作AB、AC的平行線OM、ON，分別

與AC、AB交于點M、N，

∵點O是△ABC的重心，

∴ = ， = ,

∵ 在△ABE中，OM//AB，= = ，OM = AB，

在△ACF中，ON//AC，= = ，ON = AC，

在△AGH中，OM//AH，= ，

在△ACH中，ON//AH，= ，

∴ + = +=1， + =1,  + = 3 ,

令= m , = n , m=3-n,

∵ = ,

 = =

= -1= mn-1=(3-n)n-1= -n² +3n-1= -(n- )² + ,

∴ 當 = n = ，GH//BC時， 有最大值 。

附：或 的另外兩種證明方法的作圖。

方法一：分別過點B、C作AD的平行線BE、CF，分別交直線GH于點E、F。

方法二：分別過點B、C、A、D作直線GH的垂線，垂足分別為E、F、N、M。

下面的圖解也能說明問題：