Question

我們知道，當一條直線與一個圓有兩個公共點時，稱這條直線與這個圓相交．類似地，我們定義：當一條直線與一個正方形有兩個公共點時，稱這條直線與這個正方形相交．

如圖，在平面直角坐標系中，正方形OABC的頂點為O(0，0)、A(1，0)、B(1，1)、C(0，1)．

(1)判斷直線y＝x＋與正方形OABC是否相交，并說明理由；

(2)設d是點O到直線y＝－x＋b的距離，若直線y＝－x＋b與正方形OABC相交，求d的取值范圍．

Answer 1

 (1)解：相交.                                                    

  ∵ 直線y＝x＋與線段OC交于點(0，)同時                      

  直線y＝x＋與線段CB交于點(，1)，                          

  ∴ 直線y＝x＋與正方形OABC相交.

(2)解：當直線y＝－x＋b經過點B時，

  即有 1＝－＋b，

 ∴  b＝＋1.                                  

  即 y＝－x＋1＋.                                          

 記直線y＝－x＋1＋與x、y軸的交點分別為D、E.

 則D(，0)，E(0，1＋).  

 

法1：在Rt△BAD中，tan∠BDA＝ ＝＝，

 ∴ ∠EDO＝60°， ∠OED＝30°.

 過O作OF₁⊥DE，垂足為F₁，則OF₁＝d₁. ……7分

 在Rt△OF₁E中，∵ ∠OED＝30°，

  ∴  d₁＝.                                                  

  法2：∴ DE＝(3＋).

  過O作OF₁⊥DE，垂足為F₁，則OF₁＝d₁.                         

  ∴ d₁＝×(1＋)÷(3＋)

       ＝.                                                   

  ∵  直線y＝－x＋b與直線y＝－x＋1＋平行.

  法1：當直線y＝－x＋b與正方形OABC相交時，一定與線段OB相交，且交點不與

  點O、 B重合.故直線y＝－x＋b也一定與線段OF₁相交，記交點為F，則 F不與

  點O、 F₁重合，且OF＝d.                                                                                        

  ∴  當直線y＝－x＋b與正方形相交時，   有  0＜d＜.                                              

   法2：當直線y＝－x＋b與直線y＝x(x＞0)相交時，

   有 x＝－x＋b，即x＝.

   ① 當0＜b＜1＋時，0＜x＜1， 0＜y＜1.

   此時直線y＝－x＋b與線段OB相交，且交點不與點O、 B重合.

   ② 當b＞1＋時，x＞1，

   此時直線y＝－x＋b與線段OB不相交.

   而當b≤0時，直線y＝－x＋b不經過第一象限，即與正方形OABC不相交.

   ∴  當0＜b＜1＋時，直線y＝－x＋b與正方形OABC相交.         

   此時有0＜d＜.