Question

【題目】如圖，已知點A（8，0），sin∠ABO＝，拋物線經過點O、A，且頂點在△AOB的外接圓上，則此拋物線的表達式為_____．

Answer 1

【答案】y＝﹣x2+4x或y＝x2﹣x.

【解析】

連接AC，過圓心O′作EF⊥OA，根據圓周角定理可得∠ABO＝∠OCA，從而求出直徑AC=10，以及勾股定理和垂徑定理得出E，F點著的坐標，進而分兩種情況利用頂點式求出拋物線解析式即可．

解：如圖所示：連接AC，過圓心O′作EF⊥OA，

∵∠AOC＝90°，∠ABO＝∠OCA，

∴ ，

∵點A（8，0），

∴AC＝10，

根據題意得出：AM＝OM＝4，AO′＝5，

∴MO′＝3，∴MF＝2，

∴F點坐標為：（4，﹣2），

設過O，A，F的拋物線解析式為：y＝a（x﹣4）2﹣2，

將A代入（8，0）得：0＝a（8﹣4）2﹣2，

解得：a＝，

∴此時拋物線解析式為：y＝（x﹣4）2﹣2＝x2﹣x，

根據題意得出：AM＝OM＝4，AO′＝5，

∴MO′＝3，∴ME＝8，

∴E點坐標為：（4，8），

設過O，A，E的拋物線解析式為：y＝a（x﹣4）2+8，

將A代入（8，0）得：

0＝a（8﹣4）2+8，

解得：a＝﹣，

∴此時拋物線解析式為：y＝﹣（x﹣4）2+8＝﹣x2+4x，

故答案是：y＝﹣x2+4x或y＝x2﹣x.