Question

點B與點A（-1，1）關于原點O對稱，P是動點，且P點在x²+3y²=4（x≠±1）的圖象上，設直線AP和BP分別與直線x=3交于點M，N，則存在點P使得△PAB與△PMN的面積相等，那么點P的坐標為________．

Answer 1

（，±）
分析：設點P的坐標為（x₀，y₀），則根據函數圖象上點的坐標特征知x₀²+3y₀²=4．首先，根據點A的坐標求得點B的坐標為（1，-1）；然后，利用三角形的面積公式S=absinC列出等式|PA|•|PB|sin∠APB=|PM|•|PN|sin∠MPN．即=；再根據兩點間的距離公式求得=，即（3-x₀）²=|x₀²-1|，解得x₀=．易求y₀的值．
解答：解：∵點B與點A（-1，1）關于原點O對稱，∴點B的坐標為（1，-1）．
若存在點P使得△PAB與△PMN的面積相等，設點P的坐標為（x₀，y₀），
則|PA|•|PB|sin∠APB=|PM|•|PN|sin∠MPN．
∵sin∠APB=sin∠MPN，
∴=，
∴=，即（3-x₀）²=|x₀²-1|，解得x₀=．
∵點P在x²+3y²=4（x≠±1）的圖象上，
∴x₀²+3y₀²=4，
∴y₀=±，
∴存在點P使得△PAB與△PMN的面積相等，此時點P的坐標為（，±）．
故答案是：（，±）．
點評：本題考查了一次函數綜合題．此題涉及到的知識點有關于x、y軸對稱的點的坐標特征，函數圖象上點的坐標特征，三角形的面積公式等．解題時，注意利用“數形結合”的性質，很容易得知sin∠APB=sin∠MPN．