Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，OC與⊙O相交于點D，連接AD并延長交BC于點E，BC=3，CD=2
（1）求⊙O的半徑．
（2）取BE的中點F，連接DF，求證：DF是⊙O的切線．
（3）過點D作DG⊥BC，垂足為G，OE與DG相交于點M，連接BM并延長，與OC相交于點N，試確定以N為圓心，經過點E的⊙N與⊙O的位置關系（說明理由），并求出⊙N的半徑．

Answer 1

分析：（1）由AB是圓O的直徑，BC為圓O的切線，根據切線性質得到AB與BC垂直，設圓O的半徑為r，在直角三角形OBC中，由OC=r+2，OB=r，CB=3，利用勾股定理列出關于r的方程，求出方程的解即可得到r的值；
（2）連接OF，由OA=OB，BF=EF，得到OF為三角形ABE的中位線，根據中位線定理得到OF與AE平行，由平行得到∠1=∠A，∠2=∠ADO，又半徑OA=OD，根據等邊對等角得到∠A=∠ADO，等量代換得到∠1=∠2，由OB=OD，且OF為公共邊，利用“SAS”的方法得到兩三角形全等，得到∠ODF=∠OBF=90°，即DF⊥OD，得證；
（3）兩圓的位置關系是外切．理由是：連接NE，由兩直線與同一條直線垂直，得到DG與與AB平行，根據平行線得線段對應成比例，由OA=OB，等量代換后利用比例式得到NE與AB平行，再根據DM與OB平行，同理得到比例式，且等量代換后，得到NE=ND，即圓心距ON等于兩半徑相加，故兩圓位置關系為外切；設出圓N的半徑為r，由NE平行于AB，得到比例式，代入后列出關于r的方程，求出方程的解即可得到r的值．

解答：解：（1）∵AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，∴AB⊥BC，
設⊙O的半徑為r，
在Rt△OBC中，
OC²=OB²+CB²，
∴（r+2）²=r²+3²
解得：r=

5

4

，（1分）
∴⊙O得半徑為

5

4

；

（2）如圖，連接OF．
∵AO=OB，BF=EF，
∴OF∥AE，
∴∠1=∠A，∠2=∠ADO，
又∵OA=OD，∴∠A=∠ADO，
∴∠1=∠2，
又∵OB=OD，OF=OF，
∴△OBF≌△ODF（1分）
∴∠ODF=∠OBF=90°，即DF⊥OD（1分）
∵OD是半徑，
∴DF是⊙O的切線；

（3）⊙O與⊙N外切．
理由如下：如圖，連接NE，
∵DG⊥BC，AB⊥BC，
∴DG∥AB，
∴

DM

AO

=

EM

EO

，

NM

NB

=

DM

OB

，
又∵AO=OB，∴

EM

EO

=

NM

NB

，
∴NE∥AB，
∴

NE

OB

=

NM

MB

，又DM∥OB，
∴

NM

MB

=

ND

DO

，∴

NE

OB

=

ND

DO

∵OB=OD，∴NE=ND，
∴圓心距ON等于⊙N的半徑與⊙O的半徑的和，
∴⊙O與⊙N外切．
設⊙N的半徑為x，
∵NE∥AB，
∴

NC

OC

=

NE

OB

，即

2-x

5 4 +2

=

x

5 4

，
∴x=

5

9

，
∴⊙N的半徑為

5

9

．

點評：此題綜合考查了切線的性質與判斷，兩圓位置關系的判別方法，全等三角形的判別與性質以及平行分線段成比例．
其中證明切線的方法有兩種：1、已知點，連接此點與圓心，證明夾角為直角；2、未知點，過圓心作垂線，證明垂線段等于半徑．
圓與圓位置關系的判別方法是：（R，r為兩圓的半徑，d為兩圓心間的距離）
當0≤d＜R-r時，兩圓的位置關系為內含；當d=R-r時，兩圓的位置關系是內切；當R-r＜d＜R+r時，兩圓的位置關系是相交；當d=R+r時，兩圓的位置關系是外切；當d＞R+r時，兩圓的位置關系是外離．