Question

（2011•太原二模）古希臘人常用小石子在 沙灘上擺放成各種形狀來研究數．比如：
他們研究過圖1中的1、3、6、10、…，由于這些數（小石子）能夠擺成三角形，將其稱為三角數；類似地，稱圖2中的1、4、9、16、…這樣的數為正方形數．請你分別寫出符合下列條件的一個數（要求：所寫數不能使圖1、圖2中已有的數）．是三角形但不是正方形數：

15

；是正方形數但不是三角形數：

25

；既是三角形數又是正方形數：

1225

．

Answer 1

分析：根據圖形觀察歸納猜想出兩個數列的通項公式，再根據通項公式任意寫出一個數，符合第一個通項公式不符合第二個通項公式就是三角形的數不是正方形數，任意寫出一個數，符合第二個通項公式不符合第一個通項公式就是正方形數不是三角形數，任意寫出一個數，既符合第一個通項公式也符合第二個通項公式就是三角形數又是正方形數．

解答：解：∵圖1中第一個圖有1個點，1=

1

2

（1+1）
第二個圖有3個點，3=

2

2

（2+1），
第三個圖有6個點，6=

3

2

（3+1），
…，
∴第n個圖的點數是 a_n=

n

2

（n+1），
∵圖2中第一個圖有1個點，1=1²，
第二個圖有4個點，4=2²，
第三個圖有9個點，9=3³，
…，
∴第n個圖的點數是b_n=n²，
∴是三角形但不是正方形數15，是正方形數但不是三角形25，
圖1中第49個圖中的點數是

49

2

×（49+1）=1225，
圖2中第35個圖中的點數是35²=1225，
∴是三角形數又是正方形數是1225．

點評：此題考查了圖形的變化類，解題時讓學生通過觀察、分析和歸納得出其中的規律是解題的關鍵．