Question

如圖，△ABC是等邊三角形，AE=CD，AD、BE相交于點P，BQ⊥DA于Q，∠BPQ的度數是

 

；若PQ=3，EP=1，則DA的長是

 

．

Answer 1

分析：根據等邊三角形的性質，通過全等三角形的判定定理SAS證出△AEB≌△CDA，利用全等三角形的對應角相等和三角形外角的性質求得∠BPQ=60°，求得∠PBQ=30°，所以由“30度角所對的直角邊是斜邊的一半”得到2PQ=BP=6，則易求BE=BP+PE=7．

解答：解：∵△ABC為等邊三角形，
∴AB=CA，∠BAE=∠C=60°，
∴在△AEB與△CDA中

AB=AC ∠BAE=∠C A=CD

，
∴△AEB≌△CDA（SAS）；
∴∠ABE=∠CAD，
∴∠BAD+∠ABD=∠BAD+∠CAD=∠BAC=60°，
∴∠BPQ=∠BAD+∠ABD=60°，
∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ=30°，
∴PQ=

1

2

BP=3，
∴BP=6，
∵EP=1，
∴BE=BP+PE=7，
故答案為：60°，7．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質、含30度角的直角三角形的應用，全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當的判定條件．